充分统计量（因子分解、指数族、Rao-Blackwell 改进）

一组数据里，估计参数只需要记住哪个统计量？用它改进一个粗糙的无偏估计，方差能降多少？

CAS MAS-I按输入的参数计算

对过的标准答案: 9 条
覆盖的考试公式: 1 个
参数: 8 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

分布

样本0 个数

不填时用内置示例

0–5,000 个数，每个在 -10,000 亿–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

模拟次数

1,00020 万

随机种子

0214,748.36 万

当前选项用不到的 4 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

内置示例：12 个保单年度的理赔次数（虚构）

输出

用时 938 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:22 运行

充分统计量: T = Σxᵢ
T 的值: 9
最大似然估计 λ̂: 0.75
Rao-Blackwell 估计（目标 P(N = 0) = e^{−λ}）: 0.456986
粗估计在样本上的值: 1
目标的最大似然估计: 0.472367
粗估计的方差: 0.249236
Rao-Blackwell 估计的方差: 0.0143907
方差之比（粗估计 / Rao-Blackwell）: 17.3193
Cramér-Rao 下界: 0.0139456
模拟方差：粗估计: 0.249289
模拟方差：Rao-Blackwell: 0.0142636
两组样本对数似然之差: -1.09861
对数似然之差在各参数值上的极差（应为 0）: 0

T 相同的两组样本：相对对数似然重合

原样本
对照样本

纵轴：对数似然 − 最大值

因子分解和指数族的写法factorization11 行 · 2 列

结果表因子分解和指数族的写法
项目	写法
充分统计量	T = Σxᵢ
g(T; 参数)	g(T; λ) = λ^T e^{−nλ}
h(x)	h(x) = ∏ 1/xᵢ!
指数族 p(θ)	ln λ
指数族 q(x)	x
指数族 r(θ)	−λ
指数族 s(x)	−ln x!
最大似然估计	λ̂ = T/n
Rao-Blackwell 的目标	P(N = 0) = e^{−λ}
粗估计	1{X₁ = 0}
Rao-Blackwell 估计	E[1{X₁ = 0} \| T] = ((n − 1)/n)^T

两组 T 相同的样本的对数似然likelihood25 行 · 6 列

结果表两组 T 相同的样本的对数似然
参数 λ	原样本的对数似然	对照样本的对数似然	两者之差	ln g(T; 参数)	原样本 ln L − ln g = ln h(x)
0.1875	-19.8007	-18.7021	-1.09861	-17.3158	-2.48491
0.210462	-19.0365	-17.9379	-1.09861	-16.5516	-2.48491
0.236235	-18.3061	-17.2075	-1.09861	-15.8212	-2.48491
0.265165	-17.6135	-16.5149	-1.09861	-15.1286	-2.48491
0.297638	-16.9635	-15.8649	-1.09861	-14.4786	-2.48491
0.334087	-16.3611	-15.2625	-1.09861	-13.8762	-2.48491
0.375	-15.8124	-14.7138	-1.09861	-13.3275	-2.48491
0.420923	-15.3237	-14.2251	-1.09861	-12.8388	-2.48491
0.47247	-14.9026	-13.804	-1.09861	-12.4177	-2.48491
0.53033	-14.5572	-13.4586	-1.09861	-12.0723	-2.48491
0.595275	-14.2968	-13.1982	-1.09861	-11.8119	-2.48491
0.668174	-14.1319	-13.0332	-1.09861	-11.6469	-2.48491
0.75	-14.074	-12.9754	-1.09861	-11.5891	-2.48491
0.841847	-14.1365	-13.0379	-1.09861	-11.6516	-2.48491
0.944941	-14.3339	-13.2353	-1.09861	-11.849	-2.48491
1.06066	-14.6828	-13.5842	-1.09861	-12.1979	-2.48491
1.19055	-15.2018	-14.1032	-1.09861	-12.7169	-2.48491
1.33635	-15.9116	-14.813	-1.09861	-13.4267	-2.48491
1.5	-16.8357	-15.7371	-1.09861	-14.3508	-2.48491
1.68369	-18.0003	-16.9017	-1.09861	-15.5154	-2.48491
1.88988	-19.4349	-18.3362	-1.09861	-16.95	-2.48491
2.12132	-21.1724	-20.0738	-1.09861	-18.6875	-2.48491
2.3811	-23.2501	-22.1514	-1.09861	-20.7651	-2.48491
2.6727	-25.7095	-24.6109	-1.09861	-23.2246	-2.48491
3	-28.5974	-27.4988	-1.09861	-26.1125	-2.48491

Rao-Blackwell 改进：粗估计和条件期望rao_blackwell2 行 · 7 列

结果表 Rao-Blackwell 改进：粗估计和条件期望
估计量	样本上的值	精确期望	精确方差	有效性 CRLB/方差	模拟均值	模拟方差
粗估计 1{X₁ = 0}	1	0.472367	0.249236	0.0559534	0.4731	0.249289
Rao-Blackwell E[1{X₁ = 0} \| T] = ((n − 1)/n)^T	0.456986	0.472367	0.0143907	0.969075	0.472099	0.0142636

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

9 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

手算：x = 0, 1, 2, 3, 4，T = 10，λ̂ = 2；E[1{X₁=0}|T] = (4/5)^10；T ~ Poisson(nλ) 时 E[a^T] = e^{nλ(a−1)}，所以 Var = e^{10(0.64−1)} − e^{−4}；CRLB = λe^{−2λ}/n；对照样本 1, 1, 2, 3, 3 的 ∏xᵢ! = 72，原样本 288，似然比恒为 72/288

参数分布泊松（理赔次数，λ 未知）样本 5 个数其余用默认值

项	标准答案	平台算出
T 的值T	10	10
Cramér-Rao 下界crlb	0.0073262556	0.0073262556
粗估计在样本上的值crude_estimate	1	1
两组样本对数似然之差log_ratio	-1.3862944	-1.3862944
最大似然估计 λ̂mle	2	2
对数似然之差在各参数值上的极差（应为 0）ratio_spread	0	0
Rao-Blackwell 估计（目标 P(N = 0) = e^{−λ}）rb_estimate	0.10737418	0.10737418
粗估计的方差var_crude	0.11701964	0.11701964
Rao-Blackwell 估计的方差var_rb	0.0090080836	0.0090080836

允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

第 2 条

平台算出的数对得上

手算：U(0, θ) 的最大值 T = 8，E[2X₁ | T] = (n+1)T/n = 9.6；Var(2X₁) = θ²/3，Var((n+1)T/n) = θ²/(n(n+2))，θ = 8、n = 5

参数分布均匀 U(0, θ)（θ 未知，不是指数族）样本 5 个数其余用默认值

项	标准答案	平台算出
T 的值T	8	8
粗估计在样本上的值crude_estimate	2	2
对数似然之差在各参数值上的极差（应为 0）ratio_spread	0	0
Rao-Blackwell 估计（目标 P(N = 0) = e^{−λ}）rb_estimate	9.6	9.6
粗估计的方差var_crude	21.333333	21.333333
方差之比（粗估计 / Rao-Blackwell）var_ratio	11.666667	11.666667
Rao-Blackwell 估计的方差var_rb	1.8285714	1.8285714

允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

第 3 条

平台算出的数对得上

闭式解：n = 2 时 X₁/T ~ U(0, 1)，E[1{X₁>c}|T] = 1 − c/T = 0.75；Rao-Blackwell 估计无偏，期望 e^{−c/θ}；E[(1 − c/T)²; T > c] = e^{−c/θ}(θ − c)/θ + (c/θ)² E₁(c/θ)，θ = 2000、c = 1000，E₁(0.5) = 0.5597735948

参数门槛 c 1,000 元分布指数（损失金额，均值 θ 未知）样本 2 个数其余用默认值

项	标准答案	平台算出
粗估计在样本上的值crude_estimate	0	0
最大似然估计 λ̂mle	2,000	2,000
Rao-Blackwell 估计（目标 P(N = 0) = e^{−λ}）rb_estimate	0.75	0.75
粗估计的方差var_crude	0.23865122	0.23865122
Rao-Blackwell 估计的方差var_rb	0.075329287	0.075329287
精确期望表 rao_blackwell · 第 2 行	0.60653066	0.60653066

允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

第 4 条

平台算出的数对得上

手算：α = 2，θ̂ = T/(nα) = 1000；Var(X₁) = αθ²，Var(x̄) = αθ²/n；对照样本 2000, 2000，h 的比 = (1000·3000)/(2000·2000) = 0.75

参数已知的形状参数 α 2分布伽马（形状 α 已知，尺度 θ 未知）样本 2 个数其余用默认值

项	标准答案	平台算出
两组样本对数似然之差log_ratio	-0.28768207	-0.28768207
最大似然估计 λ̂mle	1,000	1,000
对数似然之差在各参数值上的极差（应为 0）ratio_spread	0	0
Rao-Blackwell 估计（目标 P(N = 0) = e^{−λ}）rb_estimate	2,000	2,000
粗估计的方差var_crude	2,000,000	2,000,000
Rao-Blackwell 估计的方差var_rb	1,000,000	1,000,000

允许误差 0.000001 + 1×10⁻⁹×|答案|

第 5 条

平台算出的数对得上

手算：σ = 2，T = 15；Var(X₁) = σ²、Var(x̄) = σ²/n；对照样本 3, 2, 3, 4, 3 的 Σx² = 47，原样本 55，ln h 的差 = −(55 − 47)/(2·4) = −1

参数分布正态（σ 已知，μ 未知）已知的标准差 σ 2样本 5 个数其余用默认值

项	标准答案	平台算出
T 的值T	15	15
两组样本对数似然之差log_ratio	-1	-1
对数似然之差在各参数值上的极差（应为 0）ratio_spread	0	0
Rao-Blackwell 估计（目标 P(N = 0) = e^{−λ}）rb_estimate	3	3
粗估计的方差var_crude	4	4
Rao-Blackwell 估计的方差var_rb	0.8	0.8

允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

第 6 条
平台算出的数对得上
手算：T = (Σx, Σx²) = (15, 55)，μ̂ = 3，σ̂² = 55/5 − 9 = 2，Var(x̄) = σ²/n = 0.4；关于均值反射的样本 Σx、Σx² 都不变
参数分布正态（μ、σ² 都未知）样本 5 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
T 的值T 15 15
T2 55 55
最大似然估计 λ̂mle 3 3
对数似然之差在各参数值上的极差（应为 0）ratio_spread 0 0
Rao-Blackwell 估计的方差var_rb 0.4 0.4
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

第 7 条

平台算出的数对得上

手算：θ = 1000，T = ln 2 + ln 4 = ln 8，α̂ = n/T；ln(1 + X/θ) ~ 指数分布（均值 1/α），所以 Var(T/n) = 1/(nα²)

参数分布两参数 Pareto（θ 已知，α 未知）已知的尺度参数 θ 1,000 元样本 2 个数其余用默认值

项	标准答案	平台算出
T 的值T	2.0794415	2.0794415
粗估计在样本上的值crude_estimate	0.69314718	0.69314718
最大似然估计 λ̂mle	0.96179669	0.96179669
Rao-Blackwell 估计（目标 P(N = 0) = e^{−λ}）rb_estimate	1.0397208	1.0397208
Rao-Blackwell 估计的方差var_rb	0.54050964	0.54050964

允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

第 8 条
平台算出的数对得上
手算：T = 3，p̂ = 0.6；Var(X₁) = p(1 − p) = 0.24，Var(T/n) = p(1 − p)/n = 0.048
参数分布伯努利（是否出险，p 未知）样本 5 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
Rao-Blackwell 估计（目标 P(N = 0) = e^{−λ}）rb_estimate 0.6 0.6
粗估计的方差var_crude 0.24 0.24
Rao-Blackwell 估计的方差var_rb 0.048 0.048
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
Rao-Blackwell 估计（目标 P(N = 0) = e^{−λ}）rb_estimate	0.6	0.6
粗估计的方差var_crude	0.24	0.24
Rao-Blackwell 估计的方差var_rb	0.048	0.048

第 9 条

平台算出的数对得上

闭式解（同第 1 条）验证模拟：20 万次模拟的方差和均值，Rao-Blackwell 估计无偏、方差约为粗估计的 1/4；相对误差约 1%

参数分布泊松（理赔次数，λ 未知）模拟次数 20 万样本 5 个数其余用默认值

项	标准答案	平台算出
模拟方差：粗估计sim_var_crude	0.11701964	0.11711846
模拟方差：Rao-Blackwellsim_var_rb	0.0090080836	0.0089912694
模拟均值表 rao_blackwell · 第 2 行	0.13533528	0.13525195

允许误差 0 + 0.03×|答案|

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：8 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 14 行938 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.estimation import sufficiency34result = sufficiency.sufficient_statistic(5    dist="poisson",6    x=[],7    c=1000,8    alpha=2,9    sigma=5,10    theta=1000,11    n_sim=20000,12    seed=20261113,13)14print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 10 章 Review of mathematical statistics：充分统计量
Hogg、McKean、Craig：Introduction to Mathematical Statistics第 7 章 Sufficiency：因子分解定理、Rao-Blackwell 定理、指数族

覆盖的考试公式

EST-028充分统计量（因子分解与指数族）MAS-I

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

对常用的 9 种分布写出似然的因子分解 L = g(T; θ)·h(x) 和指数族的 p、q、r、s，算出样本的充分统计量 T；再构造一组 T 相同的另一组样本，验证两者的似然比和参数无关；最后用 Rao-Blackwell 定理把粗估计换成 E[粗估计 | T]，给出精确方差和模拟方差。

说明和限制

方差、Cramér-Rao 下界和模拟都在样本的最大似然估计处计算（把估计值当作真实参数）。
指数族里 T 还是完备的，所以 Rao-Blackwell 估计就是一致最小方差无偏估计（Lehmann-Scheffé 定理）。均匀分布 U(0, θ) 的最大值也是完备充分统计量，但它不是指数族，也不满足 Cramér-Rao 下界的正则条件。
对照样本：泊松把最大的观测移 1 次给最小的，正态和对数正态关于均值反射，均匀保留最大值，其余把 q(x) 最大和最小的两个观测换成平均值。两组样本的对数似然只差常数 ln h(x) − ln h(x′)。

数据

内置示例（虚构）或调用时传入的样本

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

估计与模型选择，还有 23 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“一组数据里，估计参数只需要记住哪个统计量？用它改进一个粗糙的无偏估计，方差能降多少？”