核密度估计

不选参数分布，损失的密度和分布函数大致是什么样？

SOA ASTAMCAS MAS-I按输入的参数计算

对过的标准答案: 2 条
覆盖的考试公式: 1 个
参数: 4 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

样本5 个数

最小 2最大 7均值 3.6

1–2,000 个数，每个在 -100 亿–100 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

核函数

带宽 b

0 表示用 Silverman 规则 0.9·min(s, IQR/1.34)·n^(−1/5)

0100,000 万

估计的点 x

范围 -1,000,000 万到 1,000,000 万

没有用数据：按输入的参数计算

例题数据或调用时传入的数据

输出

用时 855 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:22 运行

f̂(2.5): 0.3
F̂(2.5): 0.3125
带宽 b: 2
核密度的均值: 3.6
核密度的方差: 3.70667

核密度估计（三角核）

纵轴：密度

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 4.4.5：5 个观测，三角核，带宽 2，f̂(2.5) = 3/10；方差 = Σ(x−x̄)²/n + b²/6 = 3.04 + 0.6667（手算）
参数：全部用默认值
项标准答案这次算出
f̂(2.5)f_x 0.3 0.3
核密度的均值mean 3.6 3.6
核密度的方差var 3.7066667 3.7066667
允许误差 1×10⁻⁹
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 2 条
平台算出的数对得上
手算：矩形核 b = 2，x = 2.5 时 2、3、3、3 落在 [0.5, 4.5]，f̂ = 4×(1/2)/(5×2) = 0.2；F̂(2.5) = [0.625 + 3×0.375 + 0]/5 = 0.35
参数核函数矩形核（均匀核）其余用默认值
项标准答案平台算出
F̂(2.5)F_x 0.35 0.35
f̂(2.5)f_x 0.2 0.2
核密度的方差var 4.3733333 4.3733333
允许误差 1×10⁻⁹

项	标准答案	这次算出
f̂(2.5)f_x	0.3	0.3
核密度的均值mean	3.6	3.6
核密度的方差var	3.7066667	3.7066667

项	标准答案	平台算出
F̂(2.5)F_x	0.35	0.35
f̂(2.5)f_x	0.2	0.2
核密度的方差var	4.3733333	4.3733333

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：4 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 10 行855 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.estimation import nonparametric34result = nonparametric.kernel_density(5    x=[2, 3, 3, 3, 7],6    kernel="triangular",7    b=2,8    x_eval=2.5,9)10print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）4.4.1 Density Estimators
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 14 章 Kernel density models

覆盖的考试公式

EST-025核密度估计（矩形、三角、高斯核）ASTAMMAS-I

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

矩形、三角、高斯、Epanechnikov 核的密度和分布函数估计，核密度的均值和方差，带宽可以给定或用 Silverman 规则。

说明和限制

矩形核的 K(u) = 1/2（|u| ≤ 1），三角核 K(u) = 1 − |u|，高斯核是标准正态密度。核密度对应的随机变量是“抽一个观测再加核的噪声”，所以均值不变，方差加上核的方差。

数据

内置的例题数据（Loss Data Analytics 第 2 版例 4.4.5）或调用时传入的数据

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

估计与模型选择，还有 23 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“不选参数分布，损失的密度和分布函数大致是什么样？”