损失强度的最大似然估计（免赔额和限额）

理赔只记录了超过免赔额的部分、达到限额的被截住，从 0 算起的损失分布是什么？参数和均值估得有多准？

SOA FAMSOA ASTAMCAS MAS-IIFoA CS1IFoA CS2按输入的参数计算

对过的标准答案: 7 条
覆盖的考试公式: 5 个
参数: 13 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

损失观测80 个数 · 元

删失的填限额

最小 506最大 2.5 万均值 4,206

1–1,000 个数，每个在 0–100 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

分布

免赔额 d元

所有观测相同时填这里

0 元100,000 万元

最高赔偿的损失 u元

0 表示不限；记录值不小于 u 的算删失

0 元1,000,000 万元

每个观测的免赔额0 个数 · 元

可空；不空时代替 d

0–1,000 个数，每个在 0–10 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

每个观测是否删失0 个数

1 是、0 否；可空；不空时代替 u 的判断

0–1,000 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

记录的是

损失金额（从 0 算起）赔款（损失减去免赔额）

固定形状参数

0 表示一起估计；伽马、Pareto、逆伽马的 α，威布尔、逆威布尔的 τ，对数逻辑、Burr 的 γ，对数正态的 σ

0100

其余 5 个参数

单参数 Pareto 的下限 θ元

0 表示取最小观测

0 元100,000 万元

置信水平

0.50.999

有限期望值的上限 L元

1 元1,000,000 万元

分位数的概率 p

0.50.9999

算 F(x) 和 S(x) 的点 x元

0 元1,000,000 万元

没有用数据：按输入的参数计算

内置示例数据：免赔额 500、最高赔偿的损失 25,000 的 80 个理赔（5 个达到限额被删失）。按对数正态 LN(7.6, 1.3) 模拟，只用来演示，不是真实数据。

输出

用时 1.0 秒 · 缓存 · 11/14 21:02 运行

观测个数: 80个
删失的观测: 5个
对数似然 ln L: -679.327
AIC: 1,362.65
BIC: 1,367.42
从 0 算起的均值 E[X]: 3,875.02元
有限期望值 E[X∧10000]: 2,649.18元
0.99 分位数: 3.991 万元
F(5000): 0.817334
S(5000): 0.182666
损失不超过免赔额的概率（没有报案的比例）: 25.14%

条件生存函数：拟合的分布和乘积极限估计

乘积极限估计
对数正态分布 LN(μ, σ)

纵轴：Pr(X > x | X > 500)

参数估计的协方差矩阵covariance2 行 · 3 列

结果表参数估计的协方差矩阵
参数	μ	σ
μ	0.178209	-0.0957117
σ	-0.0957117	0.0718727

分布的函数值和 Delta 方法的标准误functions7 行 · 7 列

结果表分布的函数值和 Delta 方法的标准误
量	估计值	标准误（Delta 方法）	方差	区间下限	区间上限	单位
均值 E[X]	3,875.02	883.358	780,321.45	2,143.67	5,606.37	元
有限期望值 E[X∧10000]	2,649.18	537.374	288,770.92	1,595.95	3,702.42	元
0.99 分位数	39,914.7	13,933.5	194,142,425.3	12,605.54	67,223.85	元
F(5000) = Pr(X ≤ 5000)	0.817334	0.0457683	0.00209474	0.72763	0.907038
S(5000) = Pr(X > 5000)	0.182666	0.0457683	0.00209474	0.0929619	0.27237
损失不超过免赔额 500 的概率	0.251442	0.126907	0.0161053	0.00270957	0.500174
每次损失的期望赔款 E[X∧25000] − E[X∧500]	2,861.53	642.075	412,260.46	1,603.08	4,119.97	元

参数估计和区间params2 行 · 7 列

结果表参数估计和区间
参数	估计值	标准误	方差	0.95 区间下限	0.95 区间上限	固定
μ	7.19393	0.422148	0.178209	6.36654	8.02132	否
σ	1.46176	0.268091	0.0718727	0.936315	1.98721	否

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

7 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 4.4.9：单参数 Pareto，θ = 500，5 个观测，α̂ = 5/(Σln x − 5 ln 500) = 2.453
参数免赔额 d 0 元分布单参数 Pareto 分布（θ 已知，取最小观测下限）最高赔偿的损失 u 0 元单参数 Pareto 的下限 θ 500 元损失观测 5 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
估计值表 params · param=alpha 2.453294 2.4532941
允许误差 0.00001

项	标准答案	平台算出
估计值表 params · param=alpha	2.453294	2.4532941

第 2 条

平台算出的数对得上

Loss Data Analytics 第 2 版例 4.4.10 及其后续：逆指数分布，θ̂ = 4/Σ(1/x) = 10,667，方差 θ̂²/4，95% 区间 (213, 21,120)；F(9000) 用 Delta 方法

参数免赔额 d 0 元分布逆指数分布 InvExp(θ)最高赔偿的损失 u 0 元损失观测 4 个数算 F(x) 和 S(x) 的点 x 9,000 元其余用默认值

项	标准答案	平台算出
F(5000)F_x	0.305703	0.30568957
标准误（Delta 方法）表 functions · key=F_x	0.181167	0.18114938
估计值表 params · param=theta	10,666.667	10,666.667
0.95 区间下限表 params · param=theta	213.526	213.52515
0.95 区间上限表 params · param=theta	21,119.81	21,119.808
方差表 params · param=theta	28,444,444	28,444,446

说明：书里用取整后的 θ̂ = 10,667 和 z = 1.96 算，得方差 28,446,222、区间 (213.34, 21120.66)；这里用未取整的 θ̂ 和 z = 1.959964，方差 28,444,444、区间 (213.53, 21119.81)。书里求 F(9000) 时误用了指数分布的 1 − e^{−x/θ}，得 0.57 和方差 0.0329。逆指数分布应为 F(x) = e^{−θ/x}：F(9000) = e^{−10666.67/9000} = 0.3057，dF/dθ = −F/x，方差 (F/9000)² θ̂²/4 = 0.03282，标准误 0.1812（手算，两种写法一致）

允许误差 0 + 0.0002×|答案|

第 3 条

平台算出的数对得上

Loss Data Analytics 第 2 版例 4.4.11 及其后续：对数正态 μ̂ = 9.38、σ̂² = 5.12，协方差 diag(σ²/6, σ²/12) = diag(0.8533, 0.4267)，均值 153,277，Delta 方法的方差 71,374,380,000

参数免赔额 d 0 元分布对数正态分布 LN(μ, σ)最高赔偿的损失 u 0 元损失观测 6 个数其余用默认值

项	标准答案	平台算出
从 0 算起的均值 E[X]mean	153,493.6	153,493.6
方差表 functions · key=mean	71,648,923,000	71,648,919,000
估计值表 params · param=mu	9.3798351	9.3798351
方差表 params · param=mu	0.85385969	0.85385957
估计值表 params · param=sigma	2.2634395	2.2634395
方差表 params · param=sigma	0.42692985	0.42692984

说明：期望值用闭式解（未取整）：μ̂ = 9.379835，σ̂² = 5.123158。书里 (b) 把 σ̂ 的方差 0.4267 当成 σ̂² 的方差，给出 σ² 的区间 (3.84, 6.40)；σ̂ 的 95% 区间应为 2.2634 ± 1.96×0.6534 = (0.983, 3.544)，σ̂² 的 Delta 方差是 (2σ̂)²σ̂²/12 = σ̂⁴/3 = 8.749

允许误差 0 + 0.0002×|答案|

第 4 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 5.2.2：500 以下的损失没有记录，观测 600、700、900，指数分布 θ̂ = 700/3 = 233.33
参数免赔额 d 500 元分布指数分布 Exp(θ)最高赔偿的损失 u 0 元损失观测 3 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
估计值表 params · param=theta 233.33333 233.33335
允许误差 0.0001
第 5 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 5.2.3：威布尔 τ = 2，观测 20、30、45，两个超过 50，θ̂ = (16650/6)^{1/2} = 52.6783
参数每个观测是否删失 5 个数免赔额 d 0 元分布威布尔分布 Weibull(τ, θ)固定形状参数 2最高赔偿的损失 u 0 元损失观测 5 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
估计值表 params · param=theta 52.678269 52.678269
允许误差 0.0001
第 6 条
平台算出的数对得上
闭式解（Loss Data Analytics 第 2 版 5.2.4 节的指数分布特例）：左截断、右删失时 θ̂ = Σ(min(x,u) − d)/没删失的个数，ln L = −n_u(ln θ̂ + 1)；用内置示例数据
参数分布指数分布 Exp(θ)其余用默认值
项标准答案平台算出
对数似然 ln Lloglik -696.17105 -696.17105
估计值表 params · param=theta 3,953.2 3,953.2
允许误差 0 + 0.000001×|答案|
第 7 条
平台算出的数对得上
闭式解：α 已知时伽马分布 θ̂ = x̄/α = 7.2/2 = 3.6（手算）
参数免赔额 d 0 元分布伽马分布 Gamma(α, θ)固定形状参数 2最高赔偿的损失 u 0 元损失观测 5 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
估计值表 params · param=theta 3.6 3.6
允许误差 0.00001

项	标准答案	平台算出
估计值表 params · param=theta	233.33333	233.33335

项	标准答案	平台算出
估计值表 params · param=theta	52.678269	52.678269

项	标准答案	平台算出
对数似然 ln Lloglik	-696.17105	-696.17105
估计值表 params · param=theta	3,953.2	3,953.2

项	标准答案	平台算出
估计值表 params · param=theta	3.6	3.6

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：13 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 19 行1.0 秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.estimation import mle_severity34result = mle_severity.mle_severity(5    x=[506, 577, 584, 609, 611, 671, 756, 770, 835, 838, 843, 847, 856, 856, 917, 921, 936, 1019, 1073, 1144, 1147, 1156, 1217, 1416, 1421, 1468, 1471, 1479, 1481, 1482, 1492, 1546, 1561, 1611, 1686, 1735, 1894, 1901, 1951, 2164, 2169, 2171, 2196, 2450, 2543, 2615, 2722, 2726, 3019, 3091, 3112, 3139, 3262, 3271, 3296, 3590, 3675, 3694, 3723, 3728, 4180, 4189, 4411, 4592, 5368, 5990, 6264, 6523, 6661, 7303, 7385, 7551, 10744, 10867, 11822, 25000, 25000, 25000, 25000, 25000],6    dist="lognormal",7    deductible=500,8    limit=25000,9    truncation=[],10    censored=[],11    values_are="loss",12    fixed_shape=0,13    theta0=0,14    conf=0.95,15    lev_limit=10000,16    quantile_p=0.99,17    x_eval=5000,18)19print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）4.4 Maximum Likelihood Estimators；5.2 Parametric Estimation using Modified Data；附录 C
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 11–13 章 Maximum likelihood estimation；附录 A

覆盖的考试公式

EST-001完整数据的 MLE 闭式解FAMASTAMMAS-ICS1
EST-002不完全数据似然（分组、左截断、右删失）FAMASTAMMAS-ICS2
EST-003MLE 的方差（Fisher 信息）FAMASTAMMAS-ICS1
EST-004Delta 方法FAMASTAMMAS-I
EST-030得分检验与 Wald 区间MAS-I

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

完整、左截断（免赔额）、右删失（限额）数据的最大似然估计，观测信息矩阵、标准误、Wald 区间，Delta 方法给出均值、有限期望值、分位数和生存概率的置信区间。

说明和限制

参数化按 Loss Models 附录 A：两参数 Pareto 是 scipy 的 lomax，单参数 Pareto 是 scipy 的 pareto（下限 θ 已知）。
删失的观测填限额本身。左截断的观测要大于它的免赔额，等于免赔额的观测没有赔款，不该出现在数据里。
协方差矩阵用观测信息（对数似然的二阶导数取负）求逆，数值二阶导数在参数的对数尺度上算。指数、对数正态的完整数据，观测信息和期望信息相同。
Wald 区间和 Delta 方法区间都是大样本的正态近似，样本少时可能包含负数。

数据

内置示例数据或调用时传入的数据

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

估计与模型选择，还有 23 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“理赔只记录了超过免赔额的部分、达到限额的被截住，从 0 算起的损失分布是什么？参数和均值估得有多准？”