似然比、Wald、得分检验和 Cramér-Rao 下界

单参数模型里，参数等于某个值的假设成立吗？三种大样本检验结论一样吗？估计量有多有效？

SOA FAMSOA ASTAMSOA SRMCAS MAS-IIFoA CS1按输入的参数计算

对过的标准答案: 2 条
覆盖的考试公式: 3 个
参数: 5 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

模型

观测10 个数

最小 0最大 3均值 0.8

1–5,000 个数，每个在 -10,000 亿–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

H₀ 的参数值

范围 -100,000 万到 100,000 万

显著性水平 α

0.00010.5

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

内置示例或调用时传入的数据

输出

用时 875 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:24 运行

最大似然估计: 0.8
似然比统计量: 1.52006
Wald 统计量: 1.125
得分统计量: 1.8
χ²₁ 临界值（α = 0.05）: 3.84146
Fisher 信息 I(θ₀)（n 个观测）: 20
Cramér-Rao 下界 1/I(θ₀): 0.05
最大似然估计的有效性: 1
Wald 区间下限（0.95）: 0.245638
Wald 区间上限（0.95）: 1.35436

对数似然曲线

ℓ(θ) − ℓ(θ̂)
−χ²₁ 临界值/2

纵轴：ℓ(θ) − ℓ(θ̂)

三种检验的统计量和结论tests3 行 · 4 列

结果表三种检验的统计量和结论
检验	统计量	p 值	结论
似然比 LR	1.52006	0.217611	不拒绝 H₀
Wald	1.125	0.288844	不拒绝 H₀
得分（Rao）	1.8	0.179712	不拒绝 H₀

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
手算：Σx = 8，n = 10，λ̂ = 0.8；LR = 2[8 ln(0.8/0.5) − 10(0.8 − 0.5)]，W = 0.3²/(λ̂/n)，S = (Σx/λ₀ − n)²/(n/λ₀)，CRLB = λ₀/n = 0.05
参数：全部用默认值
项标准答案这次算出
Cramér-Rao 下界 1/I(θ₀)crlb 0.05 0.05
似然比统计量lr 1.5200581 1.5200581
最大似然估计mle 0.8 0.8
得分统计量score 1.8 1.8
Wald 统计量wald 1.125 1.125
允许误差 1×10⁻⁹
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 2 条
平台算出的数对得上
手算：指数 ℓ(θ) = −n ln θ − Σx/θ，θ̂ = 200，CRLB = θ₀²/n
参数模型指数损失 θ（均值）H₀ 的参数值 150观测 3 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
Cramér-Rao 下界 1/I(θ₀)crlb 7,500 7,500
似然比统计量lr 0.27390757 0.27390757
最大似然估计mle 200 200
允许误差 1×10⁻⁹

项	标准答案	这次算出
Cramér-Rao 下界 1/I(θ₀)crlb	0.05	0.05
似然比统计量lr	1.5200581	1.5200581
最大似然估计mle	0.8	0.8
得分统计量score	1.8	1.8
Wald 统计量wald	1.125	1.125

项	标准答案	平台算出
Cramér-Rao 下界 1/I(θ₀)crlb	7,500	7,500
似然比统计量lr	0.27390757	0.27390757
最大似然估计mle	200	200

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：5 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 11 行875 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.estimation import tests_classical34result = tests_classical.likelihood_tests(5    model="poisson",6    x=[0, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 3, 1, 0],7    theta0=0.5,8    sigma=1,9    alpha=0.05,10)11print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）附录 C Maximum Likelihood Theory
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 13 章 Variance and interval estimation

覆盖的考试公式

EST-007似然比检验ASTAMSRMMAS-ICS1
EST-027Rao-Cramer 下界与有效性MAS-ICS1
EST-030得分检验与 Wald 区间MAS-I

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

泊松、指数、伯努利、正态均值四个单参数模型：最大似然估计，似然比检验、Wald 检验、得分检验的统计量和 p 值，Fisher 信息、Cramér-Rao 下界和最大似然估计的有效性，对数似然曲线。

说明和限制

这 4 个模型的最大似然估计都是样本均值，方差正好等于 Cramér-Rao 下界（指数族的充分统计量），有效性是 1。

数据

内置的 10 个示例次数或调用时传入的数据

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

估计与模型选择，还有 23 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“单参数模型里，参数等于某个值的假设成立吗？三种大样本检验结论一样吗？估计量有多有效？”