矩估计（含截断和删失数据）

让分布的一阶、二阶矩等于样本矩，参数是多少？数据有免赔额和限额时怎么配？

SOA FAMSOA ASTAMCAS MAS-IIFoA CS1按输入的参数计算

对过的标准答案: 5 条
覆盖的考试公式: 1 个
参数: 7 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

用观测数据直接给一阶、二阶原点矩

损失观测3 个数 · 元

删失的填限额

最小 600最大 900均值 733.3

1–2,000 个数，每个在 0–100 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

分布

免赔额 d元

左截断

0 元1,000,000 万元

限额 u元

右删失；0 表示不限

0 元1,000,000 万元

当前选项用不到的 2 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

给定的矩、例题数据或调用时传入的数据

输出

用时 910 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:22 运行

一阶样本矩 m₁: 733.333
二阶样本矩 m₂: 55.33 万
分布的均值: 233.333
分布的中位数: 161.734

指数分布 Exp(θ) 的分布函数

纵轴：F(x)

指数分布无记忆：E[X − d | X > d] = θ，所以 θ̂ = 平均超出额。

矩估计的参数params1 行 · 2 列

结果表矩估计的参数
参数	矩估计
θ	233.333

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

5 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 4.4.6：m₁ = 26.62259，m₂ = 136154.6，伽马 α̂ = 0.005232809，θ̂ = 5,087.629
参数分布伽马分布 Gamma(α, θ)输入直接给一阶、二阶原点矩其余用默认值
项标准答案平台算出
矩估计表 params · param=alpha 0.005232809 0.0052328097
矩估计表 params · param=theta 5,087.629 5,087.6281
允许误差 0 + 0.000002×|答案|
第 2 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 4.4.6 的 Pareto 部分，按正确的公式重算
参数分布 Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）输入直接给一阶、二阶原点矩其余用默认值
项标准答案平台算出
矩估计表 params · param=alpha 2.0105216 2.0105207
矩估计表 params · param=theta 26.902702 26.902678
说明：书里用了错误的公式 α = 1 + m₂/(m₂ − m₁²)，得 α̂ = 2.005233、θ̂ = 26.7619。正确的是 α = 1 + m₂/(m₂ − 2m₁²) = 2.0105216，θ̂ = (α̂ − 1)m₁ = 26.9027（两种写法 2(m₂ − m₁²)/(m₂ − 2m₁²) 和 1 + m₂/(m₂ − 2m₁²) 手算一致）
允许误差 0 + 0.000002×|答案|
第 3 条
这次算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 5.2.2 的数据：截断在 500 的指数分布，无记忆性给 E[X − d | X > d] = θ，θ̂ = 平均超出额 = 233.33
参数：全部用默认值
项标准答案这次算出
矩估计表 params · param=theta 233.33333 233.33333
允许误差 0.000001
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 4 条
平台算出的数对得上
手算（二分法）：在 10 删失的指数分布，θ(1 − e^{−10/θ}) = 样本均值 7.6；数据取 Loss Data Analytics 第 2 版例 5.3.3 的 10 个赔款
参数免赔额 d 0 元限额 u 10 元损失观测 10 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
矩估计表 params · param=theta 13.715862 13.715862
允许误差 0.00001
第 5 条
平台算出的数对得上
闭式解：对数正态 σ² = ln(m₂/m₁²) = ln 2，μ = ln m₁ − σ²/2（手算）
参数分布对数正态分布 LN(μ, σ)输入直接给一阶、二阶原点矩一阶原点矩 m₁ 100二阶原点矩 m₂ 2 万其余用默认值
项标准答案平台算出
矩估计表 params · param=mu 4.2585966 4.2585966
矩估计表 params · param=sigma 0.83255461 0.83255461
允许误差 1×10⁻⁹

项	标准答案	平台算出
矩估计表 params · param=alpha	0.005232809	0.0052328097
矩估计表 params · param=theta	5,087.629	5,087.6281

项	标准答案	平台算出
矩估计表 params · param=alpha	2.0105216	2.0105207
矩估计表 params · param=theta	26.902702	26.902678

项	标准答案	这次算出
矩估计表 params · param=theta	233.33333	233.33333

项	标准答案	平台算出
矩估计表 params · param=theta	13.715862	13.715862

项	标准答案	平台算出
矩估计表 params · param=mu	4.2585966	4.2585966
矩估计表 params · param=sigma	0.83255461	0.83255461

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：7 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 13 行910 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.estimation import matching34result = matching.method_of_moments(5    input="data",6    x=[600, 700, 900],7    dist="exponential",8    deductible=500,9    limit=0,10    m1=26.62259,11    m2=136154.6,12)13print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）4.4.2 Method of Moments
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 13 章 Method of moments

覆盖的考试公式

EST-023矩估计（完整、左截断、右删失数据）FAMASTAMMAS-ICS1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

指数、伽马、对数正态、Pareto、威布尔、逆伽马的矩估计。完整数据用闭式解；有免赔额（左截断）和限额（右删失）时，让条件矩 E[min(X,u)^k | X>d] 等于样本矩，数值求解。

说明和限制

Loss Data Analytics 第 2 版例 4.4.6 的 Pareto 矩估计公式写成了 α = 1 + m₂/(m₂ − m₁²)，应为 1 + m₂/(m₂ − 2m₁²) = 2(m₂ − m₁²)/(m₂ − 2m₁²)。
截断、删失数据只配一阶矩（单参数分布）或一阶、二阶矩（两参数分布）。解不唯一或不存在时会报错。

数据

内置的例题数据（Loss Data Analytics 第 2 版例 5.2.2）或调用时传入的数据

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

估计与模型选择，还有 23 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“让分布的一阶、二阶矩等于样本矩，参数是多少？数据有免赔额和限额时怎么配？”