估计量的偏差、方差、MSE、相对效率和有效性

同一个参数有几种估计方法，哪一个更好？偏差、方差、均方误差各是多少？离 Cramér-Rao 下界多远？

SOA FAMSOA ASTAMCAS MAS-IIFoA CS1按输入的参数计算

对过的标准答案: 3 条
覆盖的考试公式: 2 个
参数: 5 个
开源库: 1 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

例子

真实参数 θ

正态时是 σ²

0100,000 万

样本量 n

21,000

模拟次数

1,00020 万

随机种子

0214,748.36 万

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数模拟

输出

用时 183 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:22 运行

MSE 最小的估计量: (n+1)/n · X₍ₙ₎（无偏）
最小 MSE: 2.85714
Cramér-Rao 下界: —

MSE 随样本量的变化（一致性）

最大值 X₍ₙ₎
(n+1)/n · X₍ₙ₎（无偏）
2x̄（矩估计）

纵轴：MSE

各估计量的偏差、方差和 MSEestimators3 行 · 10 列

结果表各估计量的偏差、方差和 MSE
估计量	偏差	方差	MSE	相对效率（最大值 X₍ₙ₎ 的方差 / 本行方差）	有效性 CRLB/方差	模拟均值	模拟偏差	模拟方差	模拟 MSE
最大值 X₍ₙ₎	-1.66667	1.98413	4.7619	1	—	8.32679	-1.67321	1.9861	4.78564
(n+1)/n · X₍ₙ₎（无偏）	0	2.85714	2.85714	0.694444	—	9.99214	-0.00785725	2.85998	2.8599
2x̄（矩估计）	0	6.66667	6.66667	0.297619	—	10.0006	0.000607013	6.62596	6.62563

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条

这次算出的数对得上

闭式解：U(0, θ) 的最大值 E = nθ/(n+1)、Var = nθ²/((n+1)²(n+2))；(n+1)/n 倍最大值 Var = θ²/(n(n+2))；2x̄ 的 Var = θ²/(3n)。θ = 10，n = 5

参数：全部用默认值

项	标准答案	这次算出
偏差表 estimators · 第 1 行	-1.6666667	-1.6666667
MSE表 estimators · 第 1 行	4.7619048	4.7619048
方差表 estimators · 第 1 行	1.984127	1.984127
MSE表 estimators · 第 2 行	2.8571429	2.8571429
MSE表 estimators · 第 3 行	6.6666667	6.6666667

允许误差 1×10⁻⁹

上面这次运行用的就是这道题的参数

第 2 条
平台算出的数对得上
闭式解：s² 的 Var = 2σ⁴/(n−1)；除以 n 的 MSE = (2n−1)σ⁴/n²；CRLB = 2σ⁴/n，所以 s² 的有效性 (n−1)/n
参数例子正态分布的方差 σ²：s²（除以 n − 1）、除以 n 的样本方差样本量 n 10真实参数 θ 4其余用默认值
项标准答案平台算出
有效性 CRLB/方差表 estimators · 第 1 行 0.9 0.9
MSE表 estimators · 第 1 行 3.5555556 3.5555556
MSE表 estimators · 第 2 行 3.04 3.04
允许误差 1×10⁻⁹
第 3 条
平台算出的数对得上
闭式解：x̄ 的 MSE = θ²/n = 500，n x̄/(n+1) 的 MSE = θ²/(n+1)；2 万次模拟的相对误差约 1%
参数例子指数分布的均值 θ：样本均值、n x̄/(n+1)样本量 n 20真实参数 θ 100其余用默认值
项标准答案平台算出
模拟 MSE表 estimators · 第 1 行 500 499.66477
模拟 MSE表 estimators · 第 2 行 476.19048 475.02889
允许误差 0 + 0.03×|答案|

项	标准答案	平台算出
有效性 CRLB/方差表 estimators · 第 1 行	0.9	0.9
MSE表 estimators · 第 1 行	3.5555556	3.5555556
MSE表 estimators · 第 2 行	3.04	3.04

项	标准答案	平台算出
模拟 MSE表 estimators · 第 1 行	500	499.66477
模拟 MSE表 estimators · 第 2 行	476.19048	475.02889

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：5 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 11 行183 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.estimation import quality34result = quality.estimator_quality(5    model="uniform_max",6    theta=10,7    n=5,8    n_sim=20000,9    seed=20261113,10)11print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 10 章 Review of mathematical statistics：估计量的性质

覆盖的考试公式

EST-026估计量的偏差、一致性、相对效率与 MSEFAMASTAMMAS-ICS1
EST-027Rao-Cramer 下界与有效性MAS-ICS1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

三个经典例子（均匀分布的上限、指数均值、正态方差）里不同估计量的偏差、方差、MSE 的精确值和模拟值，相对效率、对 Cramér-Rao 下界的有效性，样本量增大时 MSE 的变化（一致性）。

说明和限制

均匀分布的支撑依赖 θ，不满足正则条件，没有 Cramér-Rao 下界，最大值的方差按 1/n² 下降，比 2x̄ 的 1/n 快。
模拟值用固定的随机种子，和精确值的差是模拟误差。

数据

按输入的参数模拟

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

估计与模型选择，还有 23 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“同一个参数有几种估计方法，哪一个更好？偏差、方差、均方误差各是多少？离 Cramér-Rao 下界多远？”