Pearson、Spearman、Kendall 相关系数和检验

两个变量相关吗？相关系数的置信区间是多少？

CAS MAS-IIFoA CS1按输入的参数计算

对过的标准答案: 1 条
覆盖的考试公式: 2 个
参数: 4 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

变量 x20 个数

最小 1.44最大 5.22均值 2.952

4–5,000 个数，每个在 -10,000 亿–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

变量 y20 个数

最小 1.9最大 4.8均值 3.015

4–5,000 个数，每个在 -10,000 亿–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

H₀ 的相关系数 ρ₀

Fisher z 检验

-0.990.99

显著性水平 α

0.00010.5

没有用数据：按输入的参数计算

内置示例数据或调用时传入的数据

输出

用时 860 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:22 运行

Pearson r: 0.942324
Spearman r_s: 0.930399
Kendall τ: 0.804233
t 统计量（H₀: ρ = 0）: 11.9448
t 检验的 p 值: 5.44×10⁻¹⁰
Fisher z 统计量（H₀: ρ = 0）: 7.25007
Fisher z 的 p 值: 4.17×10⁻¹³
ρ 的 0.95 区间下限: 0.857293
ρ 的 0.95 区间上限: 0.977309

x 和 y（按 x 排序）

纵轴：y

三种相关系数measures3 行 · 2 列

结果表三种相关系数
相关系数	值
Pearson r	0.942324
Spearman r_s	0.930399
Kendall τ	0.804233

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

1 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
手算：S_xy = 8，S_xx = S_yy = 10，r = 0.8；d = (−1, 1, −1, 1, 0)，r_s = 1 − 24/120 = 0.8；10 对里 8 对同序、2 对逆序，τ = 0.6；t = r√3/√(1−r²)；Fisher z 区间 tanh(atanh r ± 1.96/√(n−3))
参数变量 x 5 个数变量 y 5 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
Kendall τkendall 0.6 0.6
Pearson rpearson 0.8 0.8
Spearman r_sspearman 0.8 0.8
t 统计量（H₀: ρ = 0）t 2.3094011 2.3094011
ρ 的 0.95 区间下限z_lower -0.27964004 -0.27964004
允许误差 1×10⁻⁸

项	标准答案	平台算出
Kendall τkendall	0.6	0.6
Pearson rpearson	0.8	0.8
Spearman r_sspearman	0.8	0.8
t 统计量（H₀: ρ = 0）t	2.3094011	2.3094011
ρ 的 0.95 区间下限z_lower	-0.27964004	-0.27964004

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：4 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 10 行860 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.estimation import tests_classical34result = tests_classical.correlation(5    x=[2.46, 2.8, 3.28, 3.86, 2.85, 3.67, 3.37, 3.4, 5.22, 2.55, 2.79, 4.5, 3.37, 2.88, 1.44, 2.56, 2, 2.07, 2.19, 1.77],6    y=[2.1, 2.95, 3.05, 3.6, 2.7, 3.95, 3.1, 3.85, 4.8, 2.2, 3.15, 4.65, 3.6, 2.6, 1.9, 2.8, 2.35, 2.4, 2.5, 2.05],7    rho0=0,8    alpha=0.05,9)10print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）16.1 Classic Measures of Scalar Associations

覆盖的考试公式

EST-020Pearson、Spearman 与 Kendall 相关系数CS1
EST-021相关系数的 Fisher z 变换检验CS1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

Pearson 相关系数（t 检验和 Fisher z 变换的区间、检验 ρ = ρ₀）、Spearman 秩相关、Kendall τ（有结时用 τ-b）。

说明和限制

Spearman 的 1 − 6Σd²/(n(n²−1)) 只在没有结时成立；有结时这里用秩的 Pearson 相关。Kendall 有结时用 τ-b。

数据

内置的两列示例数据或调用时传入的数据

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

估计与模型选择，还有 23 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“两个变量相关吗？相关系数的置信区间是多少？”