共轭先验的贝叶斯估计和预测分布

先验加上观测数据，参数的后验分布、后验均值、可信区间和下一期的预测是多少？

SOA FAMSOA ASTAMCAS MAS-ICAS MAS-IIIFoA CS1按输入的参数计算

公式

\displaystyle \pi(\theta\mid x)\propto f(x\mid\theta)\,\pi(\theta)

\displaystyle \lambda\mid x\sim\mathrm{Gamma}\Big(\alpha+\sum x_i,\ \frac{\theta}{1+\theta\sum e_i}\Big)

\displaystyle q\mid x\sim\mathrm{Beta}\Big(a+\sum x_i,\ b+\sum(m_i-x_i)\Big)

\displaystyle \mu\mid x\sim N\Big(\frac{\tau^2n\bar x+\sigma^2\mu_0}{n\tau^2+\sigma^2},\ \frac{\sigma^2\tau^2}{n\tau^2+\sigma^2}\Big)

\displaystyle \text{平方损失}\to\mathrm{E}[\theta\mid x],\ \text{绝对损失}\to\text{中位数},\ \text{0-1 损失}\to\text{众数}

对过的标准答案: 6 条
覆盖的考试公式: 1 个
参数: 12 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

模型

观测3 个数

次数或金额

最小 6最大 11均值 8.333

1–2,000 个数，每个在 0–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

每个观测的暴露（泊松）或试验次数 m（二项）；可空，表示 13 个数

最小 100最大 200均值 150

0–2,000 个数，每个在 0–10 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

先验的第 1 个参数

伽马、逆伽马的形状；贝塔的 a；正态的 μ₀

范围 -100,000 万到 100,000 万

先验的第 2 个参数

伽马的尺度 θ；贝塔的 b；正态的 τ；逆伽马的 β

0100,000,000 万

混合先验里第 1 个伽马的权重

1 表示不混合；只用于泊松-伽马

第 2 个伽马的形状

0100 万

第 2 个伽马的尺度

0100,000,000 万

其余 3 个参数

单参数 Pareto 的下限 θ

0100,000,000 万

下一期的暴露或试验次数

0100,000 万

可信水平

0.50.999

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

例题数据或调用时传入的数据

输出

用时 866 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:23 运行

后验的第 1 个参数 α′（形状）: 31
后验的第 2 个参数 θ′（尺度）: 0.00181818
后验均值（平方损失）: 0.0563636
后验中位数（绝对损失）: 0.0557587
后验众数（0-1 损失）: 0.0545455
后验方差: 0.000102479
0.95 等尾可信区间下限: 0.0382964
0.95 等尾可信区间上限: 0.077867
最高密度区间下限: 0.0372405
最高密度区间上限: 0.0765258
下一期的预测均值: 16.9091

先验和后验密度

先验
后验

纵轴：密度

后验均值 = Z·(Σx/Σe) + (1−Z)·αθ，信度因子 Z = Σe·θ/(1 + Σe·θ) = 0.818182（Bühlmann 形式，精确信度）。

下一期次数的预测分布predictive34 行 · 2 列

结果表下一期次数的预测分布
下一期的次数 k	预测概率
4	0.000991652
5	0.00244996
6	0.00518816
7	0.00967875
8	0.0162261
9	0.0248164
10	0.035035
11	0.0460888
12	0.0569332
13	0.066465
14	0.0737259
15	0.0780627
16	0.0792107
17	0.0772921
18	0.0727455
19	0.0662142
20	0.0584243
21	0.050078
22	0.0417763
23	0.0339766
24	0.0269814
25	0.0209503
26	0.015926
27	0.0118664
28	0.00867546
29	0.00622944
30	0.00439725
31	0.00305388
32	0.00208831
33	0.0014071
34	0.00093482
35	0.000612739
36	0.000396478
37	0.000253393

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

6 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条

这次算出的数对得上

Loss Data Analytics 第 2 版例 9.3.3：先验 Gamma(6, 1/100)，3 个月 25 次、暴露 450，后验 Gamma(31, 1/550)，第 4 个月 300 个被保险人预计 930/55 ≈ 16.91 次

参数：全部用默认值

项	标准答案	这次算出
后验的第 1 个参数 α′（形状）post_a	31	31
后验的第 2 个参数 θ′（尺度）post_b	0.0018181818	0.0018181818
后验均值（平方损失）post_mean	0.056363636	0.056363636
下一期的预测均值pred_mean	16.909091	16.909091

允许误差 1×10⁻⁹

上面这次运行用的就是这道题的参数

第 2 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 9.3.1：二项 m = 2，先验 f(q) = 4q³ 即 Beta(4, 1)，两年各 1 次，后验 Beta(6, 3)，第 3 年预计 4/3 次
参数先验的第 1 个参数 4先验的第 2 个参数 1每个观测的暴露（泊松）或试验次数 m（二项）；可空，表示 1 2 个数模型二项次数，贝塔先验 Beta(a, b)下一期的暴露或试验次数 2观测 2 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
后验的第 1 个参数 α′（形状）post_a 6 6
后验的第 2 个参数 θ′（尺度）post_b 3 3
下一期的预测均值pred_mean 1.3333333 1.3333333
允许误差 1×10⁻⁹
第 3 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 9.2.2：均匀先验，5 次里 3 次正面，后验 Beta(4, 3)；众数 3/5（手算）
参数先验的第 1 个参数 1先验的第 2 个参数 1每个观测的暴露（泊松）或试验次数 m（二项）；可空，表示 1 1 个数模型二项次数，贝塔先验 Beta(a, b)下一期的暴露或试验次数 1观测 1 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
后验的第 1 个参数 α′（形状）post_a 4 4
后验的第 2 个参数 θ′（尺度）post_b 3 3
后验众数（0-1 损失）post_mode 0.6 0.6
允许误差 1×10⁻⁹
第 4 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 9.2.1：单参数 Pareto θ = 1000，先验 Gamma(2, 1)，6 笔赔款，后验 Gamma(8, 1/6.66518)
参数先验的第 1 个参数 2先验的第 2 个参数 1每个观测的暴露（泊松）或试验次数 m（二项）；可空，表示 1 0 个数模型单参数 Pareto 损失（下限 θ 已知，形状 α），伽马先验 Gamma(a, s)单参数 Pareto 的下限 θ 1,000观测 6 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
后验的第 1 个参数 α′（形状）post_a 8 8
后验的第 2 个参数 θ′（尺度）post_b 0.15003336 0.15003336
允许误差 1×10⁻⁹
第 5 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 9.2.3：先验 0.3·Exp(均值 6) + 0.7·Exp(均值 12)，一年 10 次，后验均值
参数先验的第 1 个参数 1第 2 个伽马的形状 1先验的第 2 个参数 6第 2 个伽马的尺度 12每个观测的暴露（泊松）或试验次数 m（二项）；可空，表示 1 1 个数下一期的暴露或试验次数 1混合先验里第 1 个伽马的权重 0.3观测 1 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
后验均值（平方损失）post_mean 9.9543866 9.9543866
说明：书里的答案 9.95442，中间两步的分母 121050 和 118170 不一致。按混合共轭的闭式解重算是 9.954387（数值积分核对一致）
允许误差 1×10⁻⁹
第 6 条
平台算出的数对得上
闭式解（手算）：后验均值 (τ²n x̄ + σ²μ₀)/(nτ² + σ²) = 48/21，方差 σ²τ²/(nτ² + σ²) = 36/21
参数先验的第 1 个参数 0先验的第 2 个参数 2每个观测的暴露（泊松）或试验次数 m（二项）；可空，表示 1 0 个数模型正态观测（σ 已知），正态先验 N(μ₀, τ²)正态观测已知的标准差 σ 3观测 3 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
后验均值（平方损失）post_mean 2.2857143 2.2857143
后验方差post_var 1.7142857 1.7142857
允许误差 1×10⁻⁹

项	标准答案	平台算出
后验的第 1 个参数 α′（形状）post_a	6	6
后验的第 2 个参数 θ′（尺度）post_b	3	3
下一期的预测均值pred_mean	1.3333333	1.3333333

项	标准答案	平台算出
后验的第 1 个参数 α′（形状）post_a	4	4
后验的第 2 个参数 θ′（尺度）post_b	3	3
后验众数（0-1 损失）post_mode	0.6	0.6

项	标准答案	平台算出
后验的第 1 个参数 α′（形状）post_a	8	8
后验的第 2 个参数 θ′（尺度）post_b	0.15003336	0.15003336

项	标准答案	平台算出
后验均值（平方损失）post_mean	9.9543866	9.9543866

项	标准答案	平台算出
后验均值（平方损失）post_mean	2.2857143	2.2857143
后验方差post_var	1.7142857	1.7142857

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：12 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 18 行866 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.estimation import bayes34result = bayes.bayes_conjugate(5    model="poisson_gamma",6    x=[6, 8, 11],7    exposure=[100, 150, 200],8    a=6,9    b=0.01,10    w=1,11    a2=1,12    b2=1,13    sigma=1,14    theta0=1000,15    next_exposure=300,16    conf=0.95,17)18print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）9.2 Building Blocks；9.3 Conjugate Families
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 13 章 Bayesian estimation

覆盖的考试公式

EST-031贝叶斯估计：损失函数与可信区间MAS-IICS1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

泊松-伽马（含两个伽马的混合先验）、二项-贝塔、正态-正态、指数-逆伽马、单参数 Pareto-伽马 5 种共轭模型：后验参数，平方损失、绝对损失、0-1 损失下的贝叶斯估计（均值、中位数、众数），等尾和最高密度可信区间，下一期的预测均值和预测分布。

说明和限制

伽马先验用形状 α 和尺度 θ（均值 αθ）。贝塔先验 a = b = 1 是均匀先验。
泊松-伽马的预测分布是负二项；二项-贝塔是贝塔-二项；指数-逆伽马的下一笔损失是两参数 Pareto(α′, β′)。
混合先验（两个伽马的混合）仍然共轭：后验是两个伽马的混合，权重按各分量的边际似然更新。

数据

内置的例题数据（Loss Data Analytics 第 2 版例 9.3.3）或调用时传入的数据

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

估计与模型选择，还有 23 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“先验加上观测数据，参数的后验分布、后验均值、可信区间和下一期的预测是多少？”