损失分布的模型比较（AIC、BIC、似然比检验）

几种候选分布放在同一组理赔数据上（有免赔额和限额也可以），哪一个最合适？

SOA FAMSOA ASTAMSOA SRMCAS MAS-IIFoA CS1IFoA CS2按输入的参数计算

对过的标准答案: 4 条
覆盖的考试公式: 2 个
参数: 8 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输出

用时 1.4 秒 · 缓存 · 11/14 21:02 运行

观测个数: 80个
删失的观测: 5个
AIC 最小的分布: 对数逻辑分布 Loglogistic(γ, θ)
BIC 最小的分布: 对数逻辑分布 Loglogistic(γ, θ)
最小的 AIC: 1,359.52

条件生存函数：乘积极限估计和候选分布（AIC 前 6 个）

乘积极限估计
对数逻辑分布 Loglogistic(γ, θ)
Burr 分布 Burr(α, γ, θ)
Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）
对数正态分布 LN(μ, σ)
威布尔分布 Weibull(τ, θ)
伽马分布 Gamma(α, θ)

纵轴：Pr(X > x | X > 500)

伽马分布 Gamma(α, θ) 的参数 alpha 估到了取值范围的边上，这个分布不适合。

各分布的似然、信息准则和检验统计量fits7 行 · 13 列

结果表各分布的似然、信息准则和检验统计量
分布	参数个数	ln L	AIC	BIC	K-S	CvM	AD	参数估计	均值	99% 分位数	E[X∧25000]	参数到边界
对数逻辑分布 Loglogistic(γ, θ)	2	-677.759	1,359.52	1,364.28	0.0576696	0.0332676	0.230672	gamma = 1.29627，theta = 1572.57	5,793.03	54,466.96	3,466.02
Burr 分布 Burr(α, γ, θ)	3	-677.188	1,360.38	1,367.52	0.0540952	0.032574	0.209117	alpha = 0.49326，gamma = 2.07217，theta = 1058.89	48,627.26	95,841.69	3,983.61
Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）	2	-678.305	1,360.61	1,365.37	0.071033	0.0598761	0.404411	alpha = 1.34282，theta = 1837.52	5,360.07	54,869.84	3,222.32
对数正态分布 LN(μ, σ)	2	-679.327	1,362.65	1,367.42	0.0713982	0.0683938	0.46272	mu = 7.19393，sigma = 1.46176	3,875.02	39,914.7	3,299.8
威布尔分布 Weibull(τ, θ)	2	-680.622	1,365.24	1,370.01	0.091128	0.133425	0.863301	tau = 0.382232，theta = 536.145	2,029.98	29,138.99	1,751.87
伽马分布 Gamma(α, θ)	2	-682.741	1,369.48	1,374.25	0.118552	0.199696	1.1838	alpha = 4.36587e-14，theta = 14120.9	6.16×10⁻¹⁰	0	5.85×10⁻¹⁰	是
指数分布 Exp(θ)	1	-696.171	1,394.34	1,396.72	0.191952	1.13945	6.18458	theta = 3953.2	3,953.2	18,205.16	3,946.11

嵌套模型的似然比检验lrt4 行 · 8 列

结果表嵌套模型的似然比检验
简单模型 H₀	复杂模型 H₁	约束	自由度	LRT 统计量	临界值（α = 0.05）	p 值	结论
指数分布 Exp(θ)	伽马分布 Gamma(α, θ)	α = 1	1	26.8591	3.84146	2.19×10⁻⁷	拒绝简单模型
指数分布 Exp(θ)	威布尔分布 Weibull(τ, θ)	τ = 1	1	31.0983	3.84146	2.45×10⁻⁸	拒绝简单模型
Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）	Burr 分布 Burr(α, γ, θ)	γ = 1	1	2.23337	3.84146	0.135059	不拒绝简单模型
对数逻辑分布 Loglogistic(γ, θ)	Burr 分布 Burr(α, γ, θ)	α = 1	1	1.14063	3.84146	0.28552	不拒绝简单模型

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

4 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 6.1.2：观测 29、64、90、135、182，指数分布均值 100，K-S = 0.2727（指数分布的 MLE 正好是样本均值 100）
参数免赔额 d 0 元候选分布指数分布 Exp(θ)最高赔偿的损失 u 0 元损失观测 5 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
K-S表 fits · dist=exponential 0.2727 0.27270757
p1表 fits · dist=exponential 100 100
允许误差 0.0001
第 2 条
平台算出的数对得上
闭式解：左截断、右删失的指数分布 θ̂ = Σ(x − d)/n_u，ln L = −n_u(ln θ̂ + 1)，AIC = 2 − 2 ln L（内置示例数据）
参数候选分布指数分布 Exp(θ)其余用默认值
项标准答案平台算出
AIC表 fits · dist=exponential 1,394.3421 1,394.3421
ln L表 fits · dist=exponential -696.17105 -696.17105
允许误差 0 + 1×10⁻⁷×|答案|
第 3 条
平台算出的数对得上
闭式解（手算）：对数正态 ln L = −Σln x − n ln σ̂ − (n/2)ln 2π − n/2，指数 ln L = −n ln x̄ − n；数据是 Loss Data Analytics 第 2 版例 4.4.11 的 6 个观测
参数免赔额 d 0 元候选分布指数分布 Exp(θ)、对数正态分布 LN(μ, σ)最高赔偿的损失 u 0 元损失观测 6 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
ln L表 fits · dist=exponential -70.740037 -70.740037
BIC表 fits · dist=lognormal 142.97143 142.97143
ln L表 fits · dist=lognormal -69.693955 -69.693955
允许误差 0 + 1×10⁻⁷×|答案|
第 4 条
平台算出的数对得上
χ² 分布表：自由度 1 的 95% 分位数 3.841459（指数⊂伽马，参数个数差 1）
参数免赔额 d 0 元候选分布指数分布 Exp(θ)、伽马分布 Gamma(α, θ)最高赔偿的损失 u 0 元损失观测 6 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
临界值（α = 0.05）表 lrt · 第 1 行 3.841459 3.8414588
自由度表 lrt · 第 1 行 1 1
允许误差 0.00001

项	标准答案	平台算出
K-S表 fits · dist=exponential	0.2727	0.27270757
p1表 fits · dist=exponential	100	100

项	标准答案	平台算出
AIC表 fits · dist=exponential	1,394.3421	1,394.3421
ln L表 fits · dist=exponential	-696.17105	-696.17105

项	标准答案	平台算出
ln L表 fits · dist=exponential	-70.740037	-70.740037
BIC表 fits · dist=lognormal	142.97143	142.97143
ln L表 fits · dist=lognormal	-69.693955	-69.693955

项	标准答案	平台算出
临界值（α = 0.05）表 lrt · 第 1 行	3.841459	3.8414588
自由度表 lrt · 第 1 行	1	1

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：8 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 14 行1.4 秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.estimation import model_selection34result = model_selection.model_selection(5    x=[506, 577, 584, 609, 611, 671, 756, 770, 835, 838, 843, 847, 856, 856, 917, 921, 936, 1019, 1073, 1144, 1147, 1156, 1217, 1416, 1421, 1468, 1471, 1479, 1481, 1482, 1492, 1546, 1561, 1611, 1686, 1735, 1894, 1901, 1951, 2164, 2169, 2171, 2196, 2450, 2543, 2615, 2722, 2726, 3019, 3091, 3112, 3139, 3262, 3271, 3296, 3590, 3675, 3694, 3723, 3728, 4180, 4189, 4411, 4592, 5368, 5990, 6264, 6523, 6661, 7303, 7385, 7551, 10744, 10867, 11822, 25000, 25000, 25000, 25000, 25000],6    dists=["exponential", "gamma", "weibull", "lognormal", "pareto", "loglogistic", "burr"],7    deductible=500,8    limit=25000,9    truncation=[],10    censored=[],11    values_are="loss",12    alpha=0.05,13)14print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）4.4 例 4.4.12；6.1 Tools for Model Selection；附录 A.4
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 16 章 Model selection

覆盖的考试公式

EST-007似然比检验ASTAMSRMMAS-ICS1
EST-008SBC/BIC 与 AIC（对数似然惩罚形式）ASTAMSRMMAS-ICS1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

对每个候选分布做最大似然估计，比较对数似然、AIC、BIC、K-S、Cramér-von Mises、Anderson-Darling，嵌套的模型做似然比检验。截断和删失按似然处理，拟合优度对乘积极限估计算。

说明和限制

AIC、BIC 越小越好。考试里的 SBC = ln L − (k/2) ln n 越大越好，等于 −BIC/2。
截断、删失数据的 K-S、CvM、AD 统计量拿拟合分布（以 X 大于最小免赔额为条件）和乘积极限估计比较，积分到最大观测。参数是估出来的，这些统计量的临界值偏小，看 estimation.gof_tests 的模拟 p 值。
似然比检验只对嵌套的一对模型做：指数⊂伽马（α=1）、指数⊂威布尔（τ=1）、逆指数⊂逆伽马、逆指数⊂逆威布尔、Pareto⊂Burr（γ=1）、对数逻辑⊂Burr（α=1）。

数据

内置示例数据或调用时传入的数据

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

估计与模型选择，还有 23 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“几种候选分布放在同一组理赔数据上（有免赔额和限额也可以），哪一个最合适？”