分组数据的最大似然估计和卡方检验

只知道各金额区间的理赔个数时，损失分布的参数怎么估？拟合得好不好？

SOA FAMSOA ASTAMSOA SRMCAS MAS-IIFoA CS1IFoA CS2按输入的参数计算

对过的标准答案: 2 条
覆盖的考试公式: 2 个
参数: 5 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

分组边界 c₀ < c₁ < …3 个数 · 元

最小 0最大 2,000均值 1,000

2–100 个数，每个在 0–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

各组个数3 个数

比边界少 1 个；和边界一样多时最后一组到无穷

最小 6最大 7均值 6.667

1–100 个数，每个在 0–10 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

分布

第一组下限 c₀ > 0 时

置信水平

0.50.999

没有用数据：按输入的参数计算

例题数据或调用时传入的数据

输出

用时 910 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:24 运行

总个数: 20
对数似然: -22.1258
AIC: 46.2515
卡方统计量 Q: 0.428587
自由度: 1
卡方的 p 值: 0.512683

观测个数和拟合的期望个数

观测
期望

纵轴：个数

有的组期望个数小于 5，卡方近似不太可靠。

各组的观测数和期望数groups3 行 · 5 列

结果表各组的观测数和期望数
下限	上限	观测个数	期望个数	(O−E)²/E
0	1,000	7	7.87879	0.0980187
1,000	2,000	6	4.77502	0.314254
2,000	—	7	7.34619	0.0163142

参数估计和区间params1 行 · 5 列

结果表参数估计和区间
参数	估计值	标准误	区间下限	区间上限
θ	1,996.9	559.647	900.016	3,093.79

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 2 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 5.2.1：20 个损失分 3 组（7、6、7），指数分布 θ̂ = −1000/ln(20/33) = 1996.90；卡方统计量按期望个数 20(1−p)、20(p−p²)、20p²（p = 20/33）手算，自由度 3 − 1 − 1 = 1
参数：全部用默认值
项标准答案这次算出
卡方统计量 Qchi2 0.42858654 0.42858654
自由度chi2_df 1 1
估计值表 params · param=theta 1,996.9036 1,996.9036
允许误差 0.0001
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 2 条
这次算出的数对得上
手算：ln L = 20 ln p + 13 ln(1−p)，p = e^{−1000/θ}，Var(p̂) = p̂(1−p̂)/33；Delta 方法 Var(θ̂) = Var(p̂)/(dp/dθ)²，dp/dθ = 1000p/θ²
参数：全部用默认值
项标准答案这次算出
标准误表 params · param=theta 559.64668 559.64667
说明：数值二阶导数和手算的观测信息相差不到 0.2%
允许误差 0 + 0.002×|答案|
上面这次运行用的就是这道题的参数

项	标准答案	这次算出
卡方统计量 Qchi2	0.42858654	0.42858654
自由度chi2_df	1	1
估计值表 params · param=theta	1,996.9036	1,996.9036

项	标准答案	这次算出
标准误表 params · param=theta	559.64668	559.64667

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：5 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 11 行910 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.estimation import matching34result = matching.grouped_mle(5    boundaries=[0, 1000, 2000],6    counts=[7, 6, 7],7    dist="exponential",8    truncated="no",9    conf=0.95,10)11print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）5.2.1 Parametric Estimation using Grouped Data
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 13 章 grouped data；第 16 章 chi-square goodness-of-fit

覆盖的考试公式

EST-002不完全数据似然（分组、左截断、右删失）FAMASTAMMAS-ICS2
EST-006卡方拟合优度与列联表检验ASTAMSRMMAS-ICS1CS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

按区间概率写似然（区间删失），最大似然估计参数和标准误，再做卡方拟合优度检验（自由度减去估计的参数个数）。第一组的下限大于 0 时，可以按免赔额左截断处理。

数据

内置的例题数据（Loss Data Analytics 第 2 版例 5.2.1）或调用时传入的数据

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

估计与模型选择，还有 23 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“只知道各金额区间的理赔个数时，损失分布的参数怎么估？拟合得好不好？”