均值的检验和置信区间（z、t、两样本、配对）

样本均值和某个值、或者两组的均值，差别显著吗？均值的置信区间是多少？

SOA SRMCAS MAS-IIFoA CS1按输入的参数计算

对过的标准答案: 4 条
覆盖的考试公式: 3 个
参数: 14 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

检验

输入

x 的个数

汇总数

2100,000 万

x 的均值

汇总数

范围 -100,000,000 万到 100,000,000 万

x 的标准差

汇总数；z 检验时是已知的 σ

0100,000,000 万

H₀ 的均值 μ₀ 或均值差 δ

范围 -100,000,000 万到 100,000,000 万

备择假设

双侧 H₁: ≠右侧 H₁: >左侧 H₁: <

显著性水平 α

0.00010.5

当前选项用不到的 6 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

汇总数或调用时传入的数据

输出

用时 824 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:25 运行

检验统计量: -15.7207
自由度: 1,376
p 值: 2.42×10⁻⁵¹
临界值: 1.96169
结论（α = 0.05）: 拒绝 H₀
估计值（均值或均值差）: 7.804
标准误: 0.0453542
0.95 置信区间下限: 7.71503
0.95 置信区间上限: 7.89297

H₀ 下统计量的分布

纵轴：密度

观测的统计量是 -15.7207。

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

4 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版附录 A：2010 年 1,377 笔赔款的对数均值 7.804、标准差 1.683，H₀: μ = ln 5000 = 8.517，t = 15.72；μ 的 95% 区间 (7.715235, 7.893208)
参数：全部用默认值
项标准答案这次算出
0.95 置信区间下限ci_lower 7.715235 7.7150292
0.95 置信区间上限ci_upper 7.893208 7.8929708
检验统计量stat -15.720718 -15.720718
说明：书里写 t = (8.517 − 7.804)/(1.683/√1377) = 15.72，分子写反了，按定义 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) = −15.72。区间的误差 5e-4 来自书里汇总数只给到 3 位小数
允许误差 0.0005
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 2 条
平台算出的数对得上
手算：合并方差 s_p² = (9×4 + 11×9)/20 = 6.75，t = 1.5/√(6.75×(1/10 + 1/12))
参数输入用汇总数（个数、均值、标准差）x 的均值 5y 的均值 3.5H₀ 的均值 μ₀ 或均值差 δ 0x 的个数 10y 的个数 12x 的标准差 2y 的标准差 3检验两样本 t 检验（合并方差）其余用默认值
项标准答案平台算出
自由度df 20 20
检验统计量stat 1.3483997 1.3483997
允许误差 1×10⁻⁹
第 3 条
平台算出的数对得上
手算：差 d = 2、1、0、3，d̄ = 1.5，s_d = √(5/3)，t = 1.5/(s_d/2)
参数输入用观测数据H₀ 的均值 μ₀ 或均值差 δ 0检验配对样本 t 检验样本 x 4 个数样本 y 4 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
自由度df 3 3
检验统计量stat 2.32379 2.32379
允许误差 1×10⁻⁹
第 4 条
平台算出的数对得上
手算：z = (10.4 − 10)/(2/5) = 1，右侧 p = 1 − Φ(1) = 0.158655（正态分布表）
参数备择假设右侧 H₁: >输入用汇总数（个数、均值、标准差）x 的均值 10.4H₀ 的均值 μ₀ 或均值差 δ 10x 的个数 25x 的标准差 2检验单样本 z 检验（σ 已知）其余用默认值
项标准答案平台算出
p 值p_value 0.15865525 0.15865525
检验统计量stat 1 1
允许误差 1×10⁻⁸

项	标准答案	这次算出
0.95 置信区间下限ci_lower	7.715235	7.7150292
0.95 置信区间上限ci_upper	7.893208	7.8929708
检验统计量stat	-15.720718	-15.720718

项	标准答案	平台算出
自由度df	20	20
检验统计量stat	1.3483997	1.3483997

项	标准答案	平台算出
自由度df	3	3
检验统计量stat	2.32379	2.32379

项	标准答案	平台算出
p 值p_value	0.15865525	0.15865525
检验统计量stat	1	1

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：14 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 20 行824 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.estimation import tests_classical34result = tests_classical.mean_tests(5    test="one_t",6    input="summary",7    x=[2.46, 2.8, 3.28, 3.86, 2.85, 3.67, 3.37, 3.4, 5.22, 2.55, 2.79, 4.5, 3.37, 2.88, 1.44, 2.56, 2, 2.07, 2.19, 1.77],8    y=[2.1, 2.95, 3.05, 3.6, 2.7, 3.95, 3.1, 3.85, 4.8, 2.2, 3.15, 4.65, 3.6, 2.6, 1.9, 2.8, 2.35, 2.4, 2.5, 2.05],9    n1=1377,10    m1=7.804,11    s1=1.683,12    n2=1000,13    m2=7.7,14    s2=1.7,15    sigma=1,16    mu0=8.517,17    alternative="two-sided",18    alpha=0.05,19)20print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）附录 A.3–A.4 Interval Estimation、Hypothesis Testing

覆盖的考试公式

EST-010正态均值的检验与置信区间（方差已知/未知）MAS-ICS1
EST-011两样本均值检验（合并方差）MAS-ICS1
EST-012配对样本检验CS1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

单样本 z 检验和 t 检验、两样本 t 检验（合并方差或 Welch）、配对 t 检验：统计量、自由度、p 值、临界值和置信区间。可以给原始数据，也可以只给个数、均值、标准差。

说明和限制

置信区间都是双侧的，置信水平 1 − α。Welch 检验的自由度用 Satterthwaite 近似。

数据

内置的例题数据（Loss Data Analytics 第 2 版附录 A 的汇总数）或调用时传入的数据

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

估计与模型选择，还有 23 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“样本均值和某个值、或者两组的均值，差别显著吗？均值的置信区间是多少？”