乘积极限估计和 Nelson-Aalen 估计

有免赔额（截断）和限额（删失）时，不假设分布，损失超过某个金额的概率估计多少？误差多大？

SOA FAMSOA ASTAMCAS MAS-IIFoA CS2按输入的参数计算

公式

\displaystyle \hat S(t)=\prod_{y_j\le t}\Big(1-\frac{s_j}{r_j}\Big)

\displaystyle \widehat{\mathrm{Var}}\big(\hat S(t)\big)=\hat S(t)^2\sum_{y_j\le t}\frac{s_j}{r_j(r_j-s_j)}

\displaystyle \big(\hat S^{1/U},\hat S^{U}\big),\ U=\exp\!\Big(\frac{z\sqrt{\widehat{\mathrm{Var}}(\hat S)}}{\hat S\ln\hat S}\Big)

\displaystyle \hat H(t)=\sum_{y_j\le t}\frac{s_j}{r_j},\ \widehat{\mathrm{Var}}\big(\hat H\big)=\sum\frac{s_j}{r_j^2},\ \big(\hat H/U,\hat H U\big),\ U=\exp\!\Big(\frac{z\sqrt{\widehat{\mathrm{Var}}(\hat H)}}{\hat H}\Big)

对过的标准答案: 2 条
覆盖的考试公式: 2 个
参数: 5 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

观测值10 个数

删失的填删失点

最小 0.9最大 2.3均值 1.66

1–1,000 个数，每个在 0–100 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

每个观测的左截断点10 个数

可空，表示 0

最小 0最大 1.6均值 0.44

0–1,000 个数，每个在 0–100 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

每个观测是否右删失10 个数

1 是、0 否；可空，表示都不删失

最小 0最大 1均值 0.5

0–1,000 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

要估计的点 t

01,000,000 万

置信水平

0.50.999

没有用数据：按输入的参数计算

例题数据或调用时传入的数据

输出

用时 816 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:24 运行

Kaplan-Meier Ŝ(1.6): 0.714286
Greenwood 方差: 0.0291545
0.95 对数变换区间下限: 0.258154
0.95 对数变换区间上限: 0.919797
Nelson-Aalen Ĥ(1.6): 0.309524
Nelson-Aalen Ŝ(1.6) = e^(−Ĥ): 0.733796
Ĥ 的方差 Σ s/r²: 0.0481859
Ĥ 的对数变换区间下限: 0.0770949
Ĥ 的对数变换区间上限: 1.24269

生存函数的估计

Kaplan-Meier
Nelson-Aalen

纵轴：Ŝ(x)

有左截断：估计的是以 X 大于最小截断点 0 为条件的生存函数。

各事件点的 Kaplan-Meier 和 Nelson-Aalen 估计steps4 行 · 10 列

结果表各事件点的 Kaplan-Meier 和 Nelson-Aalen 估计
事件点 y_j	事件数 s_j	风险集 r_j	Kaplan-Meier Ŝ	Greenwood 方差	区间下限	区间上限	Nelson-Aalen Ĥ	e^(−Ĥ)	Ĥ 的方差
0.9	1	7	0.857143	0.0174927	0.334054	0.978561	0.142857	0.866878	0.0204082
1.5	1	6	0.714286	0.0291545	0.258154	0.919797	0.309524	0.733796	0.0481859
1.7	1	5	0.571429	0.0349854	0.171866	0.837083	0.509524	0.600782	0.0881859
2.1	2	3	0.190476	0.0280747	0.00918463	0.556401	1.17619	0.308452	0.310408

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 5.3.5：截断和删失的 10 个观测，Ŝ(1.6) = 5/7
参数：全部用默认值
项标准答案这次算出
Kaplan-Meier Ŝ(1.6)S_km 0.71428571 0.71428571
允许误差 1×10⁻⁹
上面这次运行用的就是这道题的参数

项	标准答案	这次算出
Kaplan-Meier Ŝ(1.6)S_km	0.71428571	0.71428571

第 2 条

平台算出的数对得上

Loss Data Analytics 第 2 版例 5.3.3 和 5.3.6：Ŝ(11) = 0.64，Nelson-Aalen Ĥ = 0.4、Ŝ = e^{−0.4} = 0.67，Greenwood 方差 0.0307；对数变换区间、Ĥ 的方差 Σs/r² 和区间按 Loss Models 的公式手算

参数每个观测是否右删失 10 个数要估计的点 t 11每个观测的左截断点 0 个数观测值 10 个数其余用默认值

项	标准答案	平台算出
Ĥ 的对数变换区间下限H_lower	0.12045023	0.12045023
Nelson-Aalen Ĥ(1.6)H_na	0.4	0.4
Ĥ 的对数变换区间上限H_upper	1.3283495	1.3283495
Kaplan-Meier Ŝ(1.6)S_km	0.64	0.64
Nelson-Aalen Ŝ(1.6) = e^(−Ĥ)S_na	0.67032005	0.67032005
0.95 对数变换区间下限km_lower	0.22633014	0.22633014
0.95 对数变换区间上限km_upper	0.87454282	0.87454282
Ĥ 的方差 Σ s/r²var_H	0.06	0.06
Greenwood 方差var_km	0.03072	0.03072

允许误差 0.000001

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：5 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 11 行816 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.estimation import nonparametric34result = nonparametric.kaplan_meier(5    x=[0.9, 1.2, 1.5, 1.5, 1.6, 1.7, 1.7, 2.1, 2.1, 2.3],6    truncation=[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1.3, 1.5, 1.6],7    censored=[0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1],8    t=1.6,9    conf=0.95,10)11print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）5.3.3 Right-Censored Empirical Distribution Function
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 14 章 Estimation for modified data

覆盖的考试公式

GRD-002Kaplan-Meier 估计与 Greenwood 方差ASTAMMAS-ICS2
GRD-003Nelson-Aalen 估计CS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

Kaplan-Meier 乘积极限估计、Greenwood 方差、对数变换的置信区间；Nelson-Aalen 累积风险率估计、它的方差和对数变换区间。允许每个观测有自己的截断点和删失。

说明和限制

风险集 r_j = 记录值不小于 y_j 的观测个数 − 截断点不小于 y_j 的观测个数。删失点和事件点相同时，删失的观测算在风险集里。
对数变换的区间在 0 和 1 之间，比直接用 Ŝ ± z·标准误更适合小样本。

数据

内置的例题数据（Loss Data Analytics 第 2 版例 5.3.5）或调用时传入的数据

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

估计与模型选择，还有 23 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“有免赔额（截断）和限额（删失）时，不假设分布，损失超过某个金额的概率估计多少？误差多大？”