主成分分析（协方差或相关矩阵的特征分解）

几个相关的费率因子能不能合成少数几个综合指标？每个主成分解释了多少波动？

SOA SRMIFoA CS1按输入的参数计算

对过的标准答案: 2 条
覆盖的考试公式: 1 个
参数: 3 个
开源库: 1 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

数据矩阵120 个数

按行排，逐个填

最小 1最大 66均值 20.05

4–20,000 个数，每个在 -10,000 亿–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

变量个数

列数

220

预处理

标准化（用相关矩阵）只中心化（用协方差矩阵）

没有用数据：按输入的参数计算

内置示例（模拟，不是真实数据）

输出

用时 189 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:45 运行

第一主成分的方差解释比例: 57.8%
前两个主成分的累计比例: 99.55%
累计达到 80% 需要的主成分个数: 2个
观测个数: 40个

碎石图

方差解释比例
累计比例

纵轴：比例

各主成分的特征值和方差解释比例components3 行 · 4 列

结果表各主成分的特征值和方差解释比例
主成分	特征值	方差解释比例	累计比例
PC1	1.73412	0.578039	0.578039
PC2	1.25236	0.417454	0.995492
PC3	0.013523	0.00450767	1

载荷loadings3 行 · 4 列

结果表载荷
变量	PC1 载荷	PC2 载荷	PC3 载荷
变量 1	0.719187	-0.279148	0.636275
变量 2	0.692635	0.360538	-0.624715
变量 3	-0.0550133	0.889994	0.452642

各行的主成分得分scores40 行 · 4 列

结果表各行的主成分得分
行	PC1 得分	PC2 得分	PC3 得分
1	0.317569	-2.26476	0.208826
2	0.0404085	0.562259	0.00375018
3	0.192403	2.49927	-0.0153558
4	1.17061	-0.562349	0.197481
5	-0.960808	-0.512347	-0.159881
6	0.810496	-1.53381	-0.0910271
7	0.207418	0.629429	-0.108022
8	0.189243	0.336674	-0.0733257
9	0.119884	-1.87355	-0.0456812
10	-0.803639	-0.529354	-0.10734
11	-0.428315	-0.228565	-0.114426
12	-1.373	0.465564	0.0220925
13	0.654511	-0.705837	-0.121829
14	-1.61488	-1.19541	0.0262457
15	0.774976	0.0881691	-0.052235
16	1.24901	1.19141	-0.00896904
17	-1.5595	-0.843763	-0.119722
18	1.81211	-0.188885	0.0798506
19	2.70329	-0.482619	0.226995
20	0.772941	-0.196184	-0.0320957
21	1.8527	2.77061	0.19163
22	2.45179	-1.63473	-0.231846
23	-2.44648	0.157108	-0.0406
24	-0.2282	-0.0650931	0.127188
25	0.264073	0.263632	0.079387
26	-1.48821	1.05124	-0.0660418
27	0.896745	-0.441386	-0.0736429
28	-2.22649	-0.439902	0.0825617
29	0.335093	-0.246225	0.0130798
30	-0.34896	-0.529843	-0.0511165
31	-1.48742	1.59188	-0.0515493
32	-0.0387902	-1.73214	0.195708
33	-2.79381	0.839369	0.191855
34	0.584122	0.812354	0.116805
35	-0.124901	-0.558147	0.0317665
36	0.0823681	1.13093	-0.0318432
37	0.0538232	0.345239	-0.106624
38	-0.15554	-0.56092	0.0334954
39	2.3449	1.89364	-0.179086
40	-1.80156	0.697062	0.0535428

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

手算：x = 1..5、y = 2, 1, 4, 3, 5 的相关系数 r = 0.8；2 个变量的相关矩阵的特征值是 1 ± r，特征向量 (1, 1)/√2

参数变量个数 2数据矩阵 10 个数其余用默认值

项	标准答案	平台算出
特征值表 components · 第 1 行	1.8	1.8
方差解释比例表 components · 第 1 行	0.9	0.9
特征值表 components · 第 2 行	0.2	0.2
PC1 载荷表 loadings · 第 1 行	0.70710678	0.70710678

允许误差 1×10⁻⁹

第 2 条
平台算出的数对得上
手算：两列已经中心化，Σx² = 8、Σy² = 2、Σxy = 0，协方差矩阵 diag(8/4, 2/4)
参数变量个数 2预处理只中心化（用协方差矩阵）数据矩阵 10 个数
项标准答案平台算出
特征值表 components · 第 1 行 2 2
特征值表 components · 第 2 行 0.5 0.5
允许误差 1×10⁻⁹

项	标准答案	平台算出
特征值表 components · 第 1 行	2	2
特征值表 components · 第 2 行	0.5	0.5

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：3 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 9 行189 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.estimation import quality34result = quality.pca(5    x=[53.8, 11.3, 1, 42.7, 15.4, 2, 38.3, 18.9, 2.7, 55.1, 16.5, 1.6, 37.5, 11.2, 1.6, 53.4, 14.7, 1.2, 43, 16.3, 2, 43.9, 15.7, 1.9, 49.7, 12, 1.1, 39, 11.5, 1.6, 40.8, 13.1, 1.7, 33, 11, 2, 49.8, 15.6, 1.5, 35.9, 7.7, 1.4, 48.9, 17, 1.8, 49.5, 20, 2.2, 34.4, 8.8, 1.5, 57.9, 19.3, 1.7, 66, 21.1, 1.6, 49.8, 16.5, 1.7, 50.7, 23.7, 2.8, 64.5, 19.8, 1.1, 25.8, 7.5, 1.9, 43.3, 13.3, 1.8, 45.6, 15.4, 1.9, 30, 11.8, 2.2, 51.1, 16.6, 1.6, 29.8, 6.9, 1.7, 47.1, 15, 1.7, 42.6, 12.7, 1.6, 28.6, 12.6, 2.4, 49.7, 11.1, 1.2, 22.9, 6.9, 2.2, 46.6, 17.1, 2.1, 44.8, 13.1, 1.6, 41.2, 16.5, 2.2, 42.7, 15.4, 1.9, 44.6, 13, 1.6, 54.3, 24.8, 2.4, 29.5, 10, 2.1],6    ncol=3,7    scale="correlation",8)9print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）2.4 Analytics with Many Variables

覆盖的考试公式

EST-022主成分（协方差矩阵特征分解）CS1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

对数据矩阵（每行一个观测）做中心化或标准化，求协方差（或相关）矩阵的特征值和特征向量：特征值、方差解释比例、累计比例、载荷、主成分得分和碎石图。

说明和限制

特征向量的正负号不唯一，这里让每个主成分绝对值最大的载荷取正号。
变量的单位不同时用标准化，否则方差大的变量会主导第一主成分。

数据

内置示例：40 个保单的车主年龄、车价（万元）、年行驶里程（万公里），按固定种子模拟，不是真实数据

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

估计与模型选择，还有 23 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“几个相关的费率因子能不能合成少数几个综合指标？每个主成分解释了多少波动？”