最小偏差法（Bailey）：两因素的相对数

两个分类因子互相相关时，各自的相对数怎么同时定？和单因素的结果差多少？

SOA PACAS 5CAS MAS-IIFoA SP8按输入的参数计算

对过的标准答案: 2 条
覆盖的考试公式: 1 个
参数: 5 个
开源库: 1 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

每格的风险单位6 个数

按第一个因子一行接一行排

最小 19.3最大 360.4均值 184.9

4–400 个数，每个在 0–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

每格的损失或件数6 个数

最小 1最大 13均值 7.167

4–400 个数，每个在 0–100,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

第二个因子的档数

每行几个格

250

形式

最多迭代次数

15,000

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的分格数据计算

输出

用时 159 毫秒 · 11/14 22:24 运行

基础（两因子都在第一档）: 0.0967192
迭代次数: 14次
拟合值合计 ÷ 实际合计: 1

第二个因子：最小偏差和单因素

最小偏差
单因素

纵轴：相对数

各格子的实际值和拟合值cells6 行 · 5 列

结果表各格子的实际值和拟合值
行	列	风险单位	实际	拟合
1	1	89.1	0.10101	0.0967192
1	2	208.5	0.0383693	0.0441748
1	3	155.2	0.0386598	0.0333239
2	1	19.3	0.0518135	0.0716226
2	2	360.4	0.036071	0.0327124
2	3	276.7	0.0216841	0.024677

第二个因子的相对数cols3 行 · 3 列

结果表第二个因子的相对数
第二个因子	最小偏差相对数	单因素相对数
第 1 档	1	1
第 2 档	0.456733	0.400141
第 3 档	0.344542	0.301181

第一个因子的相对数rows2 行 · 3 列

结果表第一个因子的相对数
第一个因子	最小偏差相对数	单因素相对数
第 1 档	1	1
第 2 档	0.740521	0.599846

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条

这次算出的数对得上

Loss Data Analytics 第 2 版 11.3：车型 × 年龄 6 格的泊松 GLM，基础 0.0967，车型 2 的相对数 0.7405，年龄组 2、3 的 0.4567、0.3445

参数：全部用默认值

项	标准答案	这次算出
基础（两因子都在第一档）base	0.0967	0.096719227
最小偏差相对数表 cols · 第 2 行	0.4567	0.45673266
最小偏差相对数表 cols · 第 3 行	0.3445	0.34454237
最小偏差相对数表 rows · 第 2 行	0.7405	0.74052119

允许误差 0.00005

上面这次运行用的就是这道题的参数

第 2 条
平台算出的数对得上
手算：每格的纯保费 10、15、20、25 正好是 10 + x_i + y_j（x = 0、10，y = 0、5），加法的最小偏差法应还原这组数
参数形式加法（等价于恒等连接的加权最小二乘）每格的损失或件数 4 个数第二个因子的档数 2每格的风险单位 4 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
基础（两因子都在第一档）base 10 10
最小偏差相对数表 cols · 第 2 行 5 5
最小偏差相对数表 rows · 第 2 行 10 10
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
基础（两因子都在第一档）base	10	10
最小偏差相对数表 cols · 第 2 行	5	5
最小偏差相对数表 rows · 第 2 行	10	10

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：5 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 11 行159 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.ratemaking import classification34result = classification.minimum_bias(5    weights=[89.1, 208.5, 155.2, 19.3, 360.4, 276.7],6    losses=[9, 8, 6, 1, 13, 6],7    n_cols=3,8    kind="multiplicative",9    max_iter=500,10)11print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Bailey (1963) Insurance rates with minimum bias
Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）11.3 Multiplicative tariff
Werner、Modlin：Basic Ratemaking第 10 章 Multivariate classification

覆盖的考试公式

RTM-015多元分类（GLM）相对数PACAS5MAS-ISP8

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

对两因素的分档数据用 Bailey 的乘法或加法最小偏差迭代，算两组相对数和基础费率；乘法的结果等于对数连接的泊松 GLM，同时列出单因素的结果作对照。

说明和限制

乘法的 Bailey 平衡方程就是泊松 GLM（对数连接、风险单位作偏移量）的似然方程，两者的相对数相同。
结果把每个因子的第一档定为 1，基础费率是第一档 × 第一档那一格的拟合值。
某一行或某一列的风险单位全是 0 时无法估计。

数据

按输入的分格数据计算（默认是 Loss Data Analytics 11.3 的车型 × 年龄例子）

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

费率厘定，还有 21 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“两个分类因子互相相关时，各自的相对数怎么同时定？和单因素的结果差多少？”