增额限额因子、免赔额相对数和层内损失占比

保额从基本限额提到 500 万，费率要乘多少？免赔额从 0 提到 5 万，能便宜多少？某一层占全部损失的几成？

SOA FAMSOA ASTAMCAS 5IFoA SP8按输入的参数计算

对过的标准答案: 3 条
覆盖的考试公式: 3 个
参数: 10 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

强度的来源

拟合的强度分布单件损失的经验数据

强度分布（拟合时）

形状参数 α

对数正态是 σ

0.011,000

尺度参数 θ元

对数正态是 e^μ

0.001 元100,000,000 万元

基本限额 B元

1 元1,000,000,000 万元

要算的限额6 个数 · 元

最小 25 万最大 1,000 万均值 312.5 万

1–50 个数，每个在 1–100,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

要算的免赔额6 个数 · 元

最小 0最大 10 万均值 3.167 万

1–50 个数，每个在 0–100,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

层的起赔点 A元

0 元1,000,000,000 万元

层的宽度 L元

1 元1,000,000,000 万元

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按拟合的强度分布计算：Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）

输出

用时 868 毫秒 · 11/14 22:43 运行

平均损失 E[X]: 13.33 万元
基本限额的有限平均强度: 12.43 万元
层内的期望损失（每件）: 8,066.46元
层内损失占比: 0.0604985
层的增额限额因子差: 0.0649154

增额限额因子

纵轴：倍

各免赔额的损失消除率和相对数deductibles6 行 · 4 列

结果表各免赔额的损失消除率和相对数
免赔额	每件消除的损失	损失消除率	免赔额相对数
0	0	0	1
5,000	4,848.18	0.0363614	0.963639
10,000	9,409.51	0.0705714	0.929429
25,000	21,593	0.161948	0.838052
50,000	37,927.77	0.284458	0.715542
100,000	60,755.86	0.455669	0.544331

各限额的增额限额因子limits6 行 · 4 列

结果表各限额的增额限额因子
限额	有限平均强度	增额限额因子	占全部损失
250,000	93,827.16	0.75508	0.703704
500,000	112,970.57	0.909138	0.847279
1,000,000	124,261.15	1	0.931959
2,000,000	129,678.65	1.0436	0.97259
5,000,000	132,327.61	1.06492	0.992457
10,000,000	132,967.25	1.07006	0.997254

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

手算：Pareto(α = 2, θ = 1,000) 的 E[X ∧ u] = 1,000(1 − 1,000/(u + 1,000))，E[X] = 1,000。LAS(1,000) = 500，LAS(10,000) = 909.09，ILF = 1.81818；LER(500) = 333.33/1,000；层 1,000 到 5,000：(833.33 − 500)/1,000

参数形状参数 α 2层的起赔点 A 1,000 元基本限额 B 1,000 元要算的免赔额 2 个数强度分布 Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）要算的限额 2 个数强度的来源拟合的强度分布尺度参数 θ 1,000 元层的宽度 L 4,000 元其余用默认值

项	标准答案	平台算出
层内损失占比pct_in_layer	0.33333333	0.33333333
损失消除率表 deductibles · 第 2 行	0.33333333	0.33333333
免赔额相对数表 deductibles · 第 2 行	0.66666667	0.66666667
增额限额因子表 limits · 第 2 行	1.8181818	1.8181818

允许误差 1×10⁻⁸ + 1×10⁻⁹×|答案|

第 2 条

平台算出的数对得上

手算：4 件损失 100、500、2,000、8,000。LAS(1,000) = 2,600/4，LAS(5,000) = 7,600/4，ILF = 2.9231；免赔额 200 消除 100 + 200 × 3 = 700，LER = 700/10,600

参数层的起赔点 A 1,000 元基本限额 B 1,000 元要算的免赔额 2 个数要算的限额 2 个数单件损失 4 个数强度的来源单件损失的经验数据层的宽度 L 4,000 元其余用默认值

项	标准答案	平台算出
层内损失占比pct_in_layer	0.47169811	0.47169811
损失消除率表 deductibles · 第 2 行	0.066037736	0.066037736
增额限额因子表 limits · 第 2 行	2.9230769	2.9230769

允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

第 3 条
平台算出的数对得上
手算：指数分布无记忆，免赔额 d 的相对数 = e^{−d/θ} = 0.60653；0 到 1,000 的层占 1 − e^{−1}
参数层的起赔点 A 0 元基本限额 B 1,000 元要算的免赔额 1 个数强度分布指数分布 Exp(θ)要算的限额 1 个数强度的来源拟合的强度分布尺度参数 θ 1,000 元层的宽度 L 1,000 元其余用默认值
项标准答案平台算出
层内损失占比pct_in_layer 0.63212056 0.63212056
免赔额相对数表 deductibles · 第 1 行 0.60653066 0.60653066
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
层内损失占比pct_in_layer	0.63212056	0.63212056
免赔额相对数表 deductibles · 第 1 行	0.60653066	0.60653066

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：10 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 16 行868 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.ratemaking import limits34result = limits.ilf(5    source="fitted",6    dist="pareto",7    alpha=2.5,8    theta=200000,9    losses=[12000, 35000, 60000, 110000, 240000, 520000, 1300000, 3100000],10    basic_limit=1000000,11    limits=[250000, 500000, 1000000, 2000000, 5000000, 10000000],12    deductibles=[0, 5000, 10000, 25000, 50000, 100000],13    attachment=1000000,14    width=4000000,15)16print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Werner、Modlin：Basic Ratemaking第 11 章 Special classification：Increased limits、Deductible pricing
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 8 章有限期望值

覆盖的考试公式

RTM-016增额限额因子（有限平均强度法）ASTAMCAS5SP8
RTM-017免赔额相对数与损失消除率（经验与拟合）ASTAMCAS5
RTM-020超额层补充项（增限分析、下限分析、拟合曲线）CAS5SP8

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

用有限平均强度（LAS）从拟合的强度分布或单件损失的经验数据算各限额的增额限额因子、各免赔额的损失消除率和相对数，以及一个层（起赔点 A、宽度 L）的损失占比。

说明和限制

这里的因子只含损失，不含风险附加和随限额变的理赔费用。实务里高限额常加风险附加，ILF 会更高。
假设出险次数和限额、免赔额无关。免赔额提高后，小损失不再报案，件数下降已经体现在 LER 里。
经验数据要用没有被保单限额截断的损失。被截断的数据要用 Miccolis 的分层方法或拟合分布。

数据

按输入的分布或单件损失计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

费率厘定，还有 21 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“保额从基本限额提到 500 万，费率要乘多少？免赔额从 0 提到 5 万，能便宜多少？某一层占全部损失的几成？”