考虑生存或违约概率的现值 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

生存概率的来源

死亡力或违约强度 μ

每年

01

实际年利率 i%

0%30%

年数 n年

1 年100 年

每年末付的金额 c元

0 元100,000 万元

连续付款率 ρ元/年

每年

0 元/年100,000 万元/年

第 n 年末一次付 S元

0 元1,000,000 万元

当前选项用不到的 2 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的死亡力（违约强度）计算

输出

用时 490 毫秒 · 11/14 22:23 运行

考虑生存（不违约）概率的现值: 12.38 万元
不考虑风险的现值: 14.88 万元
等价的风险调整利率: 5.08%
活到第 20 年末的概率: 67.03%

生存概率和贴现因子

生存概率
贴现因子
两者的乘积

固定 μ：等价利息力 δ + μ = 0.049559，等价实际利率 (1+i)e^μ − 1 = 5.080738%。

各年的生存概率和条件现值cashflows20 行 · 5 列

结果表各年的生存概率和条件现值
年末	生存概率	贴现因子	付款	条件现值
1	0.980199	0.970874	10,000	9,516.49
2	0.960789	0.942596	10,000	9,056.36
3	0.941765	0.915142	10,000	8,618.48
4	0.923116	0.888487	10,000	8,201.77
5	0.904837	0.862609	10,000	7,805.21
6	0.88692	0.837484	10,000	7,427.82
7	0.869358	0.813092	10,000	7,068.68
8	0.852144	0.789409	10,000	6,726.9
9	0.83527	0.766417	10,000	6,401.65
10	0.818731	0.744094	10,000	6,092.13
11	0.802519	0.722421	10,000	5,797.57
12	0.786628	0.70138	10,000	5,517.25
13	0.771052	0.680951	10,000	5,250.49
14	0.755784	0.661118	10,000	4,996.62
15	0.740818	0.641862	10,000	4,755.03
16	0.726149	0.623167	10,000	4,525.12
17	0.71177	0.605016	10,000	4,306.33
18	0.697676	0.587395	10,000	4,098.11
19	0.683861	0.570286	10,000	3,899.97
20	0.67032	0.553676	10,000	3,711.4

开源库scipy1.17.1· BSD

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算：μ = 2%、i = 5%，等价利率 i' = 1.05e^{0.02} − 1，PV = a_10 按 i'
参数第 n 年末一次付 S 0 元每年末付的金额 c 1 元实际年利率 i 5%死亡力或违约强度 μ 0.02年数 n 10 年连续付款率 ρ 0 元/年生存概率的来源固定的死亡力或违约强度 μ其余用默认值
项标准答案平台算出
等价的风险调整利率i_adj 0.071211407 0.071211407
考虑生存（不违约）概率的现值pv 6.9844195 6.9844195
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 2 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算：连续付款按 δ' = δ + μ，ā_10 = (1 − e^{−10δ'})/δ'，加 100 e^{−10δ'}
参数第 n 年末一次付 S 100 元每年末付的金额 c 0 元实际年利率 i 5%死亡力或违约强度 μ 0.02年数 n 10 年连续付款率 ρ 1 元/年生存概率的来源固定的死亡力或违约强度 μ其余用默认值
项标准答案平台算出
考虑生存（不违约）概率的现值pv 57.49322 57.49322
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 3 条
平台算出的数对得上
直接求和：每年死亡率 0.1 的表，PV = Σ (0.9/1.05)^t
参数第 n 年末一次付 S 0 元年龄 0 岁每年末付的金额 c 1 元实际年利率 i 5%年数 n 10 年qx 120 个数连续付款率 ρ 0 元/年生存概率的来源生命表（平台的经验生命表）其余用默认值
项标准答案平台算出
考虑生存（不违约）概率的现值pv 4.7156501 4.7156501
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|
题里用了页面上没有的参数（qx），平台在测试里运行

项	标准答案	平台算出
等价的风险调整利率i_adj	0.071211407	0.071211407
考虑生存（不违约）概率的现值pv	6.9844195	6.9844195

项	标准答案	平台算出
考虑生存（不违约）概率的现值pv	57.49322	57.49322

项	标准答案	平台算出
考虑生存（不违约）概率的现值pv	4.7156501	4.7156501

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：9 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 15 行490 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.interest import risky_cashflow34result = risky_cashflow.risky_cashflow(5    source="hazard",6    mu=0.02,7    table="2025-CL2-M",8    age=60,9    i=0.03,10    n=20,11    c=10000,12    rho=0,13    S=0,14)15print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

IFoA CM1 核心读物第 10 章考虑不确定性的价值方程
Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks第 2 章

覆盖的考试公式

FIN-046考虑生存概率或违约的价值方程CM1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

每年末付 c、连续付款率 ρ、第 n 年末一次付 S，都以生存为条件。生存概率用固定的死亡力（违约强度）μ，或者平台的经验生命表。算条件现值、不考虑风险的现值、等价的风险调整利率（固定 μ 时就是 δ + μ）。

说明和限制

固定 μ 时：生存到 t 的概率 e^{−μt}，现值等于按利息力 δ + μ 折现，也就是按实际利率 (1+i)e^μ − 1 折现。
用生命表时：整年的生存概率按表算，连续付款在年内按死亡均匀分布（UDD）插值，数值积分。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

insured-life-mortality-2025 insured-life-mortality

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验

05同族的方法

利息理论，还有 18 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“一笔现金流只在人还活着（或债务人没违约）时才付，按利率和生存概率算现值是多少？相当于把利率加高多少？”