利率期限结构：即期、远期和平价收益率 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

利率的来源

国债收益率怎么用

期限年

年，国债曲线用

1 年30 年

远期区间的起点 t年

0 年59 年

远期区间的长度 m年

1 年59 年

定价用的附息债券：年票息率%

0%20%

定价用的附息债券：期限年

1 年60 年

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

真实数据

财政部中国国债收益率曲线，2026-11-12（国债收益率曲线（最新一天））

treasury-yield-curve

输出

用时 622 毫秒 · 11/14 22:23 运行

1 年即期利率: 1.18%
30 年即期利率: 2.14%
远期利率 f[1,2]（每年）: 1.27%
10 年期、票息 2.50% 的债券价格（每 100 元面值）: 108.296元
这张债券的到期收益率: 0.0159587
曲线日期: 2026-11-12

即期、远期和平价收益率

即期利率
一年期远期利率
平价收益率

纵轴：利率

即期、远期和平价收益率curve30 行 · 8 列

结果表即期、远期和平价收益率
期限（年）	输入的利率	即期利率 r_t	零息债券价格 P_t	一年期远期 f[t−1,t]	平价收益率 y_t	连续复利即期 Y_t	连续复利远期 F_{t−1,1}
1	0.011784	0.011784	0.988353	0.011784	0.011784	0.0117151	0.0117151
2	0.012261	0.0122639	0.975916	0.0127441	0.012261	0.0121893	0.0126636
3	0.012389	0.0123926	0.963725	0.0126499	0.012389	0.0123164	0.0125705
4	0.0128395	0.012851	0.950206	0.0142277	0.0128395	0.0127692	0.0141274
5	0.01329	0.0133117	0.936019	0.0151566	0.01329	0.0132239	0.0150428
6	0.0137795	0.0138155	0.920972	0.0163383	0.0137795	0.013721	0.0162062
7	0.014269	0.0143226	0.905248	0.0173702	0.014269	0.014221	0.0172211
8	0.0148567	0.0149373	0.88815	0.0192505	0.0148567	0.0148268	0.0190675
9	0.0154443	0.0155569	0.870285	0.0205281	0.0154443	0.0154372	0.0203202
10	0.016032	0.0161822	0.851695	0.0218272	0.016032	0.0160527	0.0215924
11	0.0162574	0.0164155	0.836018	0.0187515	0.0162574	0.0162823	0.0185778
12	0.0164828	0.0166518	0.820225	0.0192546	0.0164828	0.0165147	0.0190716
13	0.0167082	0.0168909	0.804328	0.0197647	0.0167082	0.0167499	0.0195719
14	0.0169336	0.0171328	0.788339	0.020282	0.0169336	0.0169877	0.0200791
15	0.017159	0.0173773	0.77227	0.0208072	0.017159	0.0172281	0.0205937
16	0.0173844	0.0176246	0.756134	0.0213406	0.0173844	0.0174711	0.0211161
17	0.0176098	0.0178746	0.739942	0.021883	0.0176098	0.0177167	0.021647
18	0.0178352	0.0181274	0.723705	0.0224347	0.0178352	0.017965	0.0221867
19	0.0180606	0.0183831	0.707437	0.0229964	0.0180606	0.0182161	0.022736
20	0.018286	0.0186417	0.691147	0.0235689	0.018286	0.0184701	0.0232954
21	0.0185114	0.0189035	0.674848	0.0241527	0.0185114	0.018727	0.0238657
22	0.0187368	0.0191685	0.65855	0.0247487	0.0187368	0.0189871	0.0244474
23	0.0189622	0.0194368	0.642263	0.0253577	0.0189622	0.0192503	0.0250415
24	0.0191876	0.0197086	0.626	0.0259805	0.0191876	0.0195169	0.0256487
25	0.019413	0.0199841	0.609769	0.0266181	0.019413	0.019787	0.02627
26	0.0196384	0.0202634	0.593581	0.0272715	0.0196384	0.0200608	0.0269063
27	0.0198638	0.0205468	0.577446	0.0279419	0.0198638	0.0203385	0.0275587
28	0.0200892	0.0208344	0.561374	0.0286305	0.0200892	0.0206203	0.0282283
29	0.0203146	0.0211265	0.545373	0.0293385	0.0203146	0.0209064	0.0289163
30	0.02054	0.0214232	0.529454	0.0300674	0.02054	0.021197	0.0296242

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

闭式公式手算：即期利率 3%、4%、5%，f[1,2] = 1.04²/1.03 − 1，f[2,3] = 1.05³/1.04² − 1，3 年平价收益率 (1 − P_3)/ΣP_k，f[1,3] = (1.05³/1.03)^{1/2} − 1

参数定价用的附息债券：期限 3 年定价用的附息债券：年票息率 5%远期区间的长度 m 2 年自己输入的利率 3 个数利率的来源自己输入：第 1、2、… 年的即期利率远期区间的起点 t 1 年其余用默认值

项	标准答案	平台算出
10 年期、票息 2.50% 的债券价格（每 100 元面值）bond_price	100.1801	100.1801
远期利率 f[1,2]（每年）forward_tm	0.060145163	0.060145163
连续复利即期 Y_t表 curve · 第 2 行	0.039220713	0.039220713
一年期远期 f[t−1,t]表 curve · 第 2 行	0.050097087	0.050097087
一年期远期 f[t−1,t]表 curve · 第 3 行	0.070289386	0.070289386
平价收益率 y_t表 curve · 第 3 行	0.049347298	0.049347298

允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|

第 2 条
平台算出的数对得上
手算剥离：P_1 = 1/1.03，P_2 = (1 − 0.04 P_1)/1.04，r_2 = P_2^{−1/2} − 1
参数自己输入的利率 2 个数利率的来源自己输入：第 1、2、… 年的平价收益率（每年付息）其余用默认值
项标准答案平台算出
平价收益率 y_t表 curve · 第 2 行 0.04 0.04
即期利率 r_t表 curve · 第 2 行 0.040202001 0.040202001
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
平价收益率 y_t表 curve · 第 2 行	0.04	0.04
即期利率 r_t表 curve · 第 2 行	0.040202001	0.040202001

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：8 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 14 行622 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.interest import term_structure34result = term_structure.term_structure(5    source="treasury_latest",6    treat_as="par",7    years=30,8    rates=[0.015, 0.018, 0.02, 0.022, 0.024],9    t0=1,10    m=1,11    coupon=0.025,12    bond_n=10,13)14print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

IFoA CM1 核心读物第 13 章利率期限结构
Kellison：The Theory of Interest第 10 章

覆盖的考试公式

FIN-025即期利率与零息债券价格CM1
FIN-026远期利率CM1
FIN-044连续时间即期利率与远期利率CM1CM2
FIN-045平价收益率CM1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

从国债收益率曲线或自己输入的利率出发：剥离出即期利率，算零息债券价格、一年期远期利率、任意区间的远期利率、平价收益率、连续复利的即期和远期利率，并用这条曲线给一张附息债券定价。

说明和限制

国债收益率曲线是关键期限的到期收益率。整数年之间线性插值，1 年以下和 30 年以上取两头的值。
国债的到期收益率接近平价收益率，所以默认先剥离出即期利率（按每年付息一次近似）。选“直接当作即期利率”时和 life.table_values 的做法相同。
连续复利的即期利率 Y_t = ln(1 + r_t)，一年期连续远期利率 F_{t,1} = ln(P_t/P_{t+1})。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

treasury-yield-curve

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

利息理论，还有 18 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“按今天的国债收益率曲线（或自己给的利率），各期限的即期利率、远期利率、零息债券价格和平价收益率是多少？”