确定年金：现值和终值

每年付一笔钱、付 n 年（或永远），按这个利率现值和终值是多少？延期几年、每年分几次付又是多少？

SOA FAMIFoA CM1按输入的参数计算

公式

\displaystyle a_{\overline{n}|}=\frac{1-v^n}{i},\ \ddot a_{\overline{n}|}=\frac{1-v^n}{d},\ \bar a_{\overline{n}|}=\frac{1-v^n}{\delta},\ a^{(m)}_{\overline{n}|}=\frac{1-v^n}{i^{(m)}},\ \ddot a^{(m)}_{\overline{n}|}=\frac{1-v^n}{d^{(m)}},\ s_{\overline{n}|}=(1+i)^n a_{\overline{n}|},\ {}_{u|}a_{\overline{n}|}=v^u a_{\overline{n}|}=a_{\overline{u+n}|}-a_{\overline{u}|},\ a_{\overline{\infty}|}=\frac1i,\ \ddot a_{\overline{\infty}|}=\frac1d

对过的标准答案: 6 条
覆盖的考试公式: 5 个
参数: 7 个
开源库: 1 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

实际年利率 i%

0%50%

年数 n年

1 年200 年

期限

n 年永续

付款时点

期末付 a期初付 ä连续付 ā

每年付几次 m

1365

延期 u 年年

0 年100 年

每年的付款额元/年

分 m 次付

0 元/年1,000,000 万元/年

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的利率计算

输出

用时 383 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:23 运行

现值系数（10 年期末付 a）: 7.72173
终值系数: 12.5779
现值: 7,721.73元
终值（最后一期末）: 1.258 万元

现值和利率

纵轴：现值（元）

年金的现值和终值系数factors9 行 · 4 列

结果表年金的现值和终值系数
年金	每年次数	现值系数	终值系数
期末付 a	1	7.72173	12.5779
期末付 a^(2)	2	7.81708	12.7332
期末付 a^(4)	4	7.86505	12.8113
期末付 a^(12)	12	7.89713	12.8636
期初付 ä	1	8.10782	13.2068
期初付 ä^(2)	2	8.01012	13.0476
期初付 ä^(4)	4	7.96157	12.9686
期初付 ä^(12)	12	7.92931	12.916
连续付 ā	1	7.91321	12.8898

各次付款的现值payments10 行 · 4 列

结果表各次付款的现值
付款时间（年）	付款额	贴现因子	现值
1	1,000	0.952381	952.381
2	1,000	0.907029	907.029
3	1,000	0.863838	863.838
4	1,000	0.822702	822.702
5	1,000	0.783526	783.526
6	1,000	0.746215	746.215
7	1,000	0.710681	710.681
8	1,000	0.676839	676.839
9	1,000	0.644609	644.609
10	1,000	0.613913	613.913

02标准答案

6 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
复利表（Kellison 附录）：i = 5% 时 a_10 = 7.721735，s_10 = 12.577893
参数实际年利率 i 5%年数 n 10 年其余用默认值
项标准答案这次算出
现值系数（10 年期末付 a）factor 7.7217349 7.7217349
现值pv 7,721.7349 7,721.7349
终值系数s_factor 12.577893 12.577893
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 2 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算：ä_10 = (1+i)a_10 = 8.107822，ā_10 = (1 − v^10)/δ = 7.913169
参数实际年利率 i 5%年数 n 10 年付款时点期初付 ä其余用默认值
项标准答案平台算出
现值系数（10 年期末付 a）factor 8.1078217 8.1078217
现值系数表 factors · timing=continuous 7.9132086 7.9132086
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 3 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算：a^(12)_10 = (1 − v^10)/i^(12)，i^(12) = 12(1.05^{1/12} − 1)
参数实际年利率 i 5%每年付几次 m 12年数 n 10 年其余用默认值
项标准答案平台算出
现值系数（10 年期末付 a）factor 7.8971325 7.8971325
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 4 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算：延期 5 年 ₅|a_10 = a_15 − a_5
参数延期 u 年 5 年实际年利率 i 5%年数 n 10 年其余用默认值
项标准答案平台算出
现值系数（10 年期末付 a）factor 6.0501814 6.0501814
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 5 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算：永续年金 a_∞ = 1/i = 20，ä_∞ = 1/d = 21
参数实际年利率 i 5%期限永续付款时点期初付 ä其余用默认值
项标准答案平台算出
现值系数（10 年期末付 a）factor 21 21
现值系数表 factors · timing=immediate 20 20
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 6 条
平台算出的数对得上
极限：i = 0 时 ā_10 = s̄_10 = 10
参数实际年利率 i 0%年数 n 10 年付款时点连续付 ā其余用默认值
项标准答案平台算出
现值系数（10 年期末付 a）factor 10 10
终值系数s_factor 10 10
允许误差 1×10⁻¹²

项	标准答案	这次算出
现值系数（10 年期末付 a）factor	7.7217349	7.7217349
现值pv	7,721.7349	7,721.7349
终值系数s_factor	12.577893	12.577893

项	标准答案	平台算出
现值系数（10 年期末付 a）factor	8.1078217	8.1078217
现值系数表 factors · timing=continuous	7.9132086	7.9132086

项	标准答案	平台算出
现值系数（10 年期末付 a）factor	7.8971325	7.8971325

项	标准答案	平台算出
现值系数（10 年期末付 a）factor	6.0501814	6.0501814

项	标准答案	平台算出
现值系数（10 年期末付 a）factor	21	21
现值系数表 factors · timing=immediate	20	20

项	标准答案	平台算出
现值系数（10 年期末付 a）factor	10	10
终值系数s_factor	10	10

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：7 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 13 行383 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.interest import annuity_certain34result = annuity_certain.annuity_certain(5    i=0.05,6    n=10,7    term="fixed",8    timing="immediate",9    m=1,10    deferral=0,11    payment=1000,12)13print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Kellison：The Theory of Interest第 3、4 章
IFoA CM1 核心读物第 6、7 章

覆盖的考试公式

FIN-008期末付确定年金现值与终值FAMCM1
FIN-009期初付确定年金FAMCM1
FIN-010连续确定年金FAMCM1
FIN-011延期年金与永续年金CM1
FIN-013每年 m 次付确定年金CM1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

期末付、期初付、连续付，每年付 m 次，延期 u 年，n 年或永续。给出这一种年金的现值和终值，以及同一利率下全部标准系数 a、ä、ā、a^(m)、ä^(m)、s、s̈、s̄ 的对照表和现值随利率变化的曲线。

说明和限制

付款额是每年的合计。每年付 m 次时，每次付付款额/m。
终值算到第 u + n 年末（最后一次付款所在的期末）。永续年金没有终值。
i = 0 时取极限：a = ä = ā = n。永续年金在 i = 0 时不收敛。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

利息理论，还有 18 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“每年付一笔钱、付 n 年（或永远），按这个利率现值和终值是多少？延期几年、每年分几次付又是多少？”