久期和凸性 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

现金流

收益率 i

实际年利率

0.00010.3

期限 n年

1 年100 年

年票息率%

债券

0%30%

面值元

1 元1,000,000 万元

现金流的时点0 个数

年，可空表示 1, 2, …

0–200 个数，每个在 0–200 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

利率变动 Δi%

-5%5%

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的现金流和收益率计算

输出

用时 166 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:26 运行

价格（现值）: 107.722
麦考莱久期 D_mac: 7.89215年
修正久期 D_mod: 7.51633
有效久期: 7.51633
麦考莱凸性 C_mac: 71.6794
修正凸性 C_mod: 72.1737
有效凸性: 72.1737
利率变成 6.0000% 后的精确价格: 100
一阶近似: 99.625
二阶近似: 100.014
麦考莱近似 P(1+i₀)^D/(1+i)^D: 99.9574

价格和收益率：精确值和近似

精确价格
一阶近似（修正久期）
二阶近似（加凸性）

纵轴：价格

现金流和现值权重cashflows10 行 · 4 列

结果表现金流和现值权重
时点（年）	现金流	现值	现值权重
1	6	5.71429	0.0530467
2	6	5.44218	0.0505207
3	6	5.18303	0.0481149
4	6	4.93621	0.0458238
5	6	4.70116	0.0436417
6	6	4.47729	0.0415635
7	6	4.26409	0.0395843
8	6	4.06104	0.0376993
9	6	3.86765	0.0359041
10	106	65.0748	0.604101

02标准答案

4 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
闭式公式手算：D = [Fr (Ia)_10 + C·10·v^10]/P，(Ia)_10 = (ä_10 − 10v^10)/i，票息 6%、收益率 5%
参数年票息率 6%面值 100 元收益率 i 0.05现金流附息债券（每年付息）期限 n 10 年其余用默认值
项标准答案这次算出
麦考莱久期 D_macmac 7.8921487 7.8921487
修正久期 D_modmod 7.5163321 7.5163321
价格（现值）price 107.72173 107.72173
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 2 条
平台算出的数对得上
闭式公式：零息债券 D_mac = n，D_mod = n/(1+i)，C_mac = n²，C_mod = n(n+1)/(1+i)²
参数面值 100 元收益率 i 0.05现金流零息债券期限 n 10 年其余用默认值
项标准答案平台算出
麦考莱凸性 C_maccmac 100 100
修正凸性 C_modcmod 99.773243 99.773243
麦考莱久期 D_macmac 10 10
修正久期 D_modmod 9.5238095 9.5238095
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 3 条
平台算出的数对得上
闭式公式：年金的麦考莱久期 (Ia)_n/a_n
参数收益率 i 0.05现金流 n 年期末付年金期限 n 10 年其余用默认值
项标准答案平台算出
麦考莱久期 D_macmac 5.099085 5.099085
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 4 条
平台算出的数对得上
闭式公式：永续年金 D_mac = 1/d = 21，D_mod = 1/i = 20，C_mod = 2/i² = 800
参数收益率 i 0.05现金流永续年金（期末付）其余用默认值
项标准答案平台算出
修正凸性 C_modcmod 800 800
麦考莱久期 D_macmac 21 21
修正久期 D_modmod 20 20
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	这次算出
麦考莱久期 D_macmac	7.8921487	7.8921487
修正久期 D_modmod	7.5163321	7.5163321
价格（现值）price	107.72173	107.72173

项	标准答案	平台算出
麦考莱凸性 C_maccmac	100	100
修正凸性 C_modcmod	99.773243	99.773243
麦考莱久期 D_macmac	10	10
修正久期 D_modmod	9.5238095	9.5238095

项	标准答案	平台算出
麦考莱久期 D_macmac	5.099085	5.099085

项	标准答案	平台算出
修正凸性 C_modcmod	800	800
麦考莱久期 D_macmac	21	21
修正久期 D_modmod	20	20

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：8 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 14 行166 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.interest import duration34result = duration.duration(5    instrument="bond",6    i=0.05,7    n=10,8    coupon=0.06,9    face=100,10    amounts=[100, 100, 1100],11    times=[],12    shock=0.01,13)14print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Kellison：The Theory of Interest第 11 章
IFoA CM1 核心读物第 14 章

覆盖的考试公式

FIN-028麦考莱久期与修正久期CM1CM2
FIN-029常见资产的久期
FIN-030凸性CM1
FIN-032基于久期/凸性的价格近似

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

对附息债券、年金、永续年金、零息债券或自己输入的现金流，算麦考莱久期和凸性、修正久期和凸性、按利率上下移动算的有效久期和有效凸性，并比较 3 种价格近似（一阶、二阶、麦考莱近似）和精确价格。

说明和限制

麦考莱凸性对 δ 求导：C_mac = P''(δ)/P；修正凸性对 i 求导：C_mod = P''(i)/P。
有效久期和有效凸性按 i ± Δi 重新定价算，适合现金流随利率变化（例如可赎回）的情形；这里的现金流固定，有效久期接近修正久期。
永续年金用闭式公式：P = 1/i，D_mac = 1/d，D_mod = 1/i，C_mod = 2/i²。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

利息理论，还有 18 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“利率变一点，这组现金流（债券、年金）的价格变多少？麦考莱久期、修正久期、凸性各是多少？”