变额年金：递增、递减和几何增长

每年的付款额按固定金额或固定比例增长（或减少），现值和终值是多少？

IFoA CM1按输入的参数计算

公式

\displaystyle (Ia)_{\overline{n}|}=\frac{\ddot a_{\overline{n}|}-nv^n}{i},\ (Da)_{\overline{n}|}=\frac{n-a_{\overline{n}|}}{i},\ PV_{P,Q}=Pa_{\overline{n}|}+Q\frac{a_{\overline{n}|}-nv^n}{i},\ PV_{geo}=P\frac{1-\left(\frac{1+k}{1+i}\right)^n}{i-k},\ (\bar I\bar a)_{\overline{n}|}=\frac{\bar a_{\overline{n}|}-nv^n}{\delta},\ (Ia)^{(m)}_{\overline{n}|}=\frac{\ddot a_{\overline{n}|}-nv^n}{i^{(m)}}

对过的标准答案: 7 条
覆盖的考试公式: 4 个
参数: 8 个
开源库: 1 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

年金类型

实际年利率 i%

0%50%

年数 n年

1 年200 年

第 1 年的付款额 P元

0 元100,000 万元

每年增加的金额 Q元

可负

范围 -10,000 万元到 10,000 万元

付款时点

期末付期初付

当前选项用不到的 2 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的利率和付款额计算

输出

用时 161 毫秒 · 11/14 22:23 运行

现值系数（单位付款）: 10.8869
终值系数: 17.7337
现值: 1.089 万元
终值（第 n 年末）: 1.773 万元
逐年求和的现值（核对）: 1.089 万

每年的付款额

纵轴：付款额

逐年现金流直接求和的现值 10886.939717，和闭式公式差 1.09e-11。

各年的付款和现值cashflows10 行 · 3 列

结果表各年的付款和现值
第几年	当年付款额	现值
1	1,000	952.381
2	1,100	997.732
3	1,200	1,036.61
4	1,300	1,069.51
5	1,400	1,096.94
6	1,500	1,119.32
7	1,600	1,137.09
8	1,700	1,150.63
9	1,800	1,160.3
10	1,900	1,166.44

02标准答案

7 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
平台算出的数对得上
直接求和：(Ia)_10 = Σ t v^t（i = 5%）= 39.373783
参数实际年利率 i 5%年金类型标准递增 (Ia)：1, 2, …, n年数 n 10 年其余用默认值
项标准答案平台算出
终值系数fv_factor 64.135743 64.135743
现值系数（单位付款）pv_factor 39.373783 39.373783
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 2 条
平台算出的数对得上
直接求和：(Dä)_10 = 1.05 × Σ (11 − t) v^t
参数实际年利率 i 5%年金类型标准递减 (Da)：n, n−1, …, 1年数 n 10 年付款时点期初付其余用默认值
项标准答案平台算出
现值系数（单位付款）pv_factor 47.843566 47.843566
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 3 条
这次算出的数对得上
闭式公式手算：P a_10 + Q (a_10 − 10v^10)/i，P = 1000、Q = 100
参数第 1 年的付款额 P 1,000 元每年增加的金额 Q 100 元实际年利率 i 5%年金类型等差：第 1 年付 P，以后每年加 Q年数 n 10 年其余用默认值
项标准答案这次算出
现值pv 10,886.94 10,886.94
允许误差 0.000001 + 1×10⁻⁹×|答案|
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 4 条
平台算出的数对得上
直接求和：Σ 1000 × 1.03^{t−1} v^t
参数第 1 年的付款额 P 1,000 元实际年利率 i 5%几何增长率 k 0.03年金类型几何：第 1 年付 P，以后每年乘 (1+k)年数 n 10 年其余用默认值
项标准答案平台算出
现值pv 8,747.5962 8,747.5962
允许误差 0.000001 + 1×10⁻⁹×|答案|
第 5 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算：k = i 时 PV = nP/(1+i)
参数第 1 年的付款额 P 1,000 元实际年利率 i 5%几何增长率 k 0.05年金类型几何：第 1 年付 P，以后每年乘 (1+k)年数 n 10 年其余用默认值
项标准答案平台算出
现值pv 9,523.8095 9,523.8095
允许误差 0.000001 + 1×10⁻⁹×|答案|
第 6 条
平台算出的数对得上
独立积分：∫_0^10 t e^{−δt} dt = [1 − e^{−10δ}(1 + 10δ)]/δ²，δ = ln 1.05
参数实际年利率 i 5%年金类型连续递增连续付 (Ī ā)：t 时的付款率是 t年数 n 10 年其余用默认值
项标准答案平台算出
现值系数（单位付款）pv_factor 36.361346 36.361346
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 7 条
平台算出的数对得上
直接求和：第 k 年每月末付 k/12，Σ_k Σ_j (k/12) v^{k−1+j/12}
参数实际年利率 i 5%年金类型每年付 m 次、逐年递增 (I a)^(m)：第 k 年每次付 k/m每年付几次 m 12年数 n 10 年其余用默认值
项标准答案平台算出
现值系数（单位付款）pv_factor 40.26815 40.26815
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
终值系数fv_factor	64.135743	64.135743
现值系数（单位付款）pv_factor	39.373783	39.373783

项	标准答案	平台算出
现值系数（单位付款）pv_factor	47.843566	47.843566

项	标准答案	这次算出
现值pv	10,886.94	10,886.94

项	标准答案	平台算出
现值pv	8,747.5962	8,747.5962

项	标准答案	平台算出
现值pv	9,523.8095	9,523.8095

项	标准答案	平台算出
现值系数（单位付款）pv_factor	36.361346	36.361346

项	标准答案	平台算出
现值系数（单位付款）pv_factor	40.26815	40.26815

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：8 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 14 行161 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.interest import varying_annuity34result = varying_annuity.varying_annuity(5    kind="arithmetic",6    i=0.05,7    n=10,8    P=1000,9    Q=100,10    k=0.03,11    timing="immediate",12    m=12,13)14print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Kellison：The Theory of Interest第 4 章 4.6–4.8
IFoA CM1 核心读物第 7 章

覆盖的考试公式

FIN-012递增/递减确定年金CM1
FIN-013每年 m 次付确定年金CM1
FIN-014连续递增年金CM1
FIN-016几何递增年金CM1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

标准递增 (Ia)、递减 (Da)、一般的等差 P、Q 型、几何增长、连续递增 (Īā)、每年付 m 次的递增 (Ia)^(m)。闭式公式算现值和终值，逐年现金流直接求和核对，并给出现值随利率变化的曲线。

说明和限制

P、Q 只用于“等差”类型；几何类型用 P 和 k；标准递增和递减的每年付款额是 1, 2, …, n 和 n, …, 1。
期初付的现值等于期末付的现值乘 (1+i)。终值等于现值乘 (1+i)^n。
几何增长 k = i 时 PV = nP/(1+i)（期末付）。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

利息理论，还有 18 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“每年的付款额按固定金额或固定比例增长（或减少），现值和终值是多少？”