变动利息力：累积、贴现和连续现金流 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

利息力的形式

常数项 a

分段时作为缺省值

-0.050.3

一次项 b

-0.020.02

二次项 c

-0.0010.001

起点 t₁年

0 年50 年

终点 t₂年

0 年50 年

连续付款率 ρ₀元/年

每年

0 元/年100,000 万元/年

付款率的年增长率 g

-0.20.3

连续现金流的年数 n年

0.5 年50 年

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的利息力计算

输出

用时 513 毫秒 · 11/14 22:24 运行

累积因子 a(5)/a(0): 1.23677
贴现因子 v(5): 0.80856
0 到 5 年等价的固定实际利率: 4.34%
连续现金流的现值（10 年）: 8,064.99元
连续现金流在第 10 年末的终值: 1.33 万元

利息力 δ(t)

纵轴：δ

各年的利息力、累积函数和贴现因子by_year11 行 · 5 列

结果表各年的利息力、累积函数和贴现因子
t（年）	利息力 δ(t)	累积函数 a(t)	贴现因子 v(t)	第 t 年的实际利率
0	0.04	1	1	—
1	0.0403	1.04091	0.960693	0.0409149
2	0.0412	1.08415	0.922378	0.0415396
3	0.0427	1.13055	0.884529	0.0427902
4	0.0448	1.18105	0.846707	0.0446689
5	0.0475	1.23677	0.80856	0.0471791
6	0.0508	1.29901	0.769819	0.0503254
7	0.0547	1.3693	0.7303	0.0541134
8	0.0592	1.44947	0.689906	0.05855
9	0.0643	1.54172	0.648625	0.0636432
10	0.07	1.64872	0.606531	0.0694024

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

5 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
闭式公式手算：δ(t) = 0.04 + 0.0003t²，a(5) = exp(0.04×5 + 0.0001×5³)
参数常数项 a 0.04一次项 b 0二次项 c 0.0003利息力的形式多项式 δ(t) = a + bt + ct²起点 t₁ 0 年终点 t₂ 5 年其余用默认值
项标准答案这次算出
累积因子 a(5)/a(0)acc 1.2367661 1.2367661
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 2 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算：常数利息力 5% 时连续年金 ā_10 = (1 − e^{−0.5})/0.05，s̄_10 = (e^{0.5} − 1)/0.05
参数常数项 a 0.05一次项 b 0二次项 c 0付款率的年增长率 g 0利息力的形式多项式 δ(t) = a + bt + ct²连续现金流的年数 n 10 年连续付款率 ρ₀ 1 元/年其余用默认值
项标准答案平台算出
连续现金流在第 10 年末的终值fv_stream 12.974425 12.974425
连续现金流的现值（10 年）pv_stream 7.8693868 7.8693868
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 3 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算：δ(t) = 0.02 + 0.01t，从 2 到 5 的累积因子 exp(0.02×3 + 0.005×(25 − 4))
参数常数项 a 0.02一次项 b 0.01二次项 c 0利息力的形式多项式 δ(t) = a + bt + ct²起点 t₁ 2 年终点 t₂ 5 年其余用默认值
项标准答案平台算出
累积因子 a(5)/a(0)acc 1.1793931 1.1793931
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|
第 4 条
平台算出的数对得上
手算：分段利息力 5%、6%、7%，从 0.5 到 2.5 的积分 0.025 + 0.06 + 0.035 = 0.12
参数利息力的形式分段常数：第 k 年的利息力 δ_k分段常数：第 1、2、… 年的利息力 3 个数起点 t₁ 0.5 年终点 t₂ 2.5 年其余用默认值
项标准答案平台算出
累积因子 a(5)/a(0)acc 1.1274969 1.1274969
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|
第 5 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算：ρ(t) = e^{0.02t}、δ = 0.05，PV = ∫_0^10 e^{−0.03t}dt = (1 − e^{−0.3})/0.03
参数常数项 a 0.05一次项 b 0二次项 c 0付款率的年增长率 g 0.0202利息力的形式多项式 δ(t) = a + bt + ct²连续现金流的年数 n 10 年连续付款率 ρ₀ 1 元/年其余用默认值
项标准答案平台算出
连续现金流的现值（10 年）pv_stream 8.6393926 8.6393926
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	这次算出
累积因子 a(5)/a(0)acc	1.2367661	1.2367661

项	标准答案	平台算出
连续现金流在第 10 年末的终值fv_stream	12.974425	12.974425
连续现金流的现值（10 年）pv_stream	7.8693868	7.8693868

项	标准答案	平台算出
累积因子 a(5)/a(0)acc	1.1793931	1.1793931

项	标准答案	平台算出
累积因子 a(5)/a(0)acc	1.1274969	1.1274969

项	标准答案	平台算出
连续现金流的现值（10 年）pv_stream	8.6393926	8.6393926

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：10 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 16 行513 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.interest import varying_force34result = varying_force.varying_force(5    kind="poly",6    a=0.04,7    b=0,8    c=0.0003,9    rates=[0.03, 0.035, 0.04, 0.045, 0.05],10    t1=0,11    t2=5,12    rho0=1000,13    g=0,14    n=10,15)16print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

IFoA CM1 核心读物第 3 章利息力
Kellison：The Theory of Interest1.10、4.8

覆盖的考试公式

FIN-006利息力FAMCM1
FIN-007现值与终值（多种利率表示）FAMCM1
FIN-015变额现金流与变动利息力下的现值CM1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

利息力取多项式 a + bt + ct² 或逐年分段常数。算累积函数 a(t)、贴现因子 v(t)、t₁ 到 t₂ 的累积因子、等价的固定实际利率，连续付款率 ρ(t) = ρ₀(1+g)^t 的现值和终值（数值积分）。

说明和限制

现金流的现值和终值用自适应数值积分（scipy.integrate.quad，相对误差 1e-10）。累积因子用积分的闭式。
分段常数时，第 k 年（k−1 ≤ t < k）的利息力是序列的第 k 个值；超过序列的年份用最后一个值。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

利息理论，还有 18 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“利息力随时间变化时，一笔钱从 t₁ 累积到 t₂ 是多少？一条连续的现金流现值和终值是多少？”