发展因子的选择和尾部因子 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

三角形

选定的平均方法

用最近几个事故年

0 是全部

050

去掉几个最高的

去高低平均时

010

去掉几个最低的

去高低平均时

010

尾部因子

当前选项用不到的 4 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

公开样例

公开样例：RAA 三角形（Mack 1993，已报案赔款，千美元）

loss-triangle-sample

输出

用时 166 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:24 运行

最新累计合计: 16.1 万
最终合计: 21.31 万
未决合计（最终 − 最新）: 5.214 万
尾部因子: 1
第一个发展期到最终的累计因子: 8.92023

各种平均的发展因子

加权平均（按金额）
简单平均
去掉最高、最低后的简单平均
几何平均

纵轴：倍

选定：加权平均（按金额），全部年份；尾部：不加尾部因子。

逐期发展因子（age-to-age）ata10 行 · 10 列

结果表逐期发展因子（age-to-age）
事故年	12-24	24-36	36-48	48-60	60-72	72-84	84-96	96-108	108-120
1981	1.64984	1.31902	1.08233	1.14689	1.19514	1.11297	1.03326	1.0029	1.00922
1982	40.4245	1.25928	1.97665	1.29214	1.13184	0.993397	1.04343	1.03309	—
1983	2.63695	1.54282	1.16348	1.16071	1.1857	1.02922	1.02637	—	—
1984	2.04332	1.36443	1.34885	1.10152	1.11347	1.03773	—	—	—
1985	8.75916	1.65562	1.39991	1.17078	1.00867	—	—	—	—
1986	4.25975	1.81567	1.10537	1.22551	—	—	—	—	—
1987	7.21724	2.72289	1.12498	—	—	—	—	—	—
1988	5.14212	1.88743	—	—	—	—	—	—	—
1989	1.72199	—	—	—	—	—	—	—	—
1990	—	—	—	—	—	—	—	—	—

发展因子的各种平均averages9 行 · 8 列

结果表发展因子的各种平均
发展期	加权	简单	几何	去高低	最近 3 年加权	最近 3 年简单	选定
12-24	2.99936	8.2061	4.56261	4.54007	3.24578	4.69378	2.99936
24-36	1.62352	1.69589	1.64652	1.5975	2.05376	2.142	1.62352
36-48	1.27089	1.31451	1.28688	1.22852	1.23215	1.21009	1.27089
48-60	1.17167	1.18293	1.18138	1.17597	1.15721	1.16594	1.17167
60-72	1.11338	1.12696	1.12492	1.14367	1.0934	1.10261	1.11338
72-84	1.04193	1.04333	1.04244	1.03347	1.02395	1.02011	1.04193
84-96	1.03326	1.03436	1.03433	1.03326	1.03326	1.03436	1.03326
96-108	1.01694	1.01799	1.01788	1.01799	1.01694	1.01799	1.01694
108-120	1.00922	1.00922	1.00922	1.00922	1.00922	1.00922	1.00922

选定的发展因子factors10 行 · 4 列

结果表选定的发展因子
发展期	发展因子	到最终的累计因子	已发展的比例 1/CDF
12-24	2.99936	8.92023	0.112105
24-36	1.62352	2.97405	0.336242
36-48	1.27089	1.83185	0.545897
48-60	1.17167	1.44139	0.693774
60-72	1.11338	1.2302	0.812877
72-84	1.04193	1.10492	0.905045
84-96	1.03326	1.06045	0.942998
96-108	1.01694	1.02631	0.974365
108-120	1.00922	1.00922	0.990868
120-最终	1	1	1

各事故年的最终损失和未决reserves10 行 · 7 列

结果表各事故年的最终损失和未决
事故年	最新累计	发展月数	到最终的因子	已发展的比例	最终	未决
1981	18,834	120	1	1	18,834	0
1982	16,704	108	1.00922	0.990868	16,857.95	153.954
1983	23,466	96	1.02631	0.974365	24,083.37	617.371
1984	27,067	84	1.06045	0.942998	28,703.14	1,636.14
1985	26,180	72	1.10492	0.905045	28,926.74	2,746.74
1986	15,852	60	1.2302	0.812877	19,501.1	3,649.1
1987	12,314	48	1.44139	0.693774	17,749.3	5,435.3
1988	13,112	36	1.83185	0.545897	24,019.19	10,907.19
1989	5,395	24	2.97405	0.336242	16,044.98	10,649.98
1990	2,063	12	8.92023	0.112105	18,402.44	16,339.44

累计损失三角形triangle10 行 · 11 列

结果表累计损失三角形
事故年	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120
1981	5,012	8,269	10,907	11,805	13,539	16,181	18,009	18,608	18,662	18,834
1982	106	4,285	5,396	10,666	13,782	15,599	15,496	16,169	16,704	—
1983	3,410	8,992	13,873	16,141	18,735	22,214	22,863	23,466	—	—
1984	5,655	11,555	15,766	21,266	23,425	26,083	27,067	—	—	—
1985	1,092	9,565	15,836	22,169	25,955	26,180	—	—	—	—
1986	1,513	6,445	11,702	12,935	15,852	—	—	—	—	—
1987	557	4,020	10,946	12,314	—	—	—	—	—	—
1988	1,351	6,947	13,112	—	—	—	—	—	—	—
1989	3,133	5,395	—	—	—	—	—	—	—	—
1990	2,063	—	—	—	—	—	—	—	—	—

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条

这次算出的数对得上

Mack (1993) 的 RAA 例子：加权的发展因子 2.999、1.624、1.271、1.172、1.113、1.042、1.033、1.017、1.009，最终 213,122，IBNR 52,135

参数选定的平均方法加权平均（按金额）三角形 RAA 三角形（Mack 1993，已报案赔款，千美元）其余用默认值

项	标准答案	这次算出
最终合计ultimate	213,122.23	213,122.23
未决合计（最终 − 最新）unpaid	52,135.23	52,135.228
发展因子表 factors · 第 1 行	2.999359	2.9993587
发展因子表 factors · 第 2 行	1.623523	1.6235228
发展因子表 factors · 第 3 行	1.270888	1.2708881
发展因子表 factors · 第 4 行	1.171675	1.1716746
发展因子表 factors · 第 5 行	1.113385	1.1133849
发展因子表 factors · 第 6 行	1.041935	1.0419346
发展因子表 factors · 第 7 行	1.033264	1.0332636
发展因子表 factors · 第 8 行	1.016936	1.0169365
发展因子表 factors · 第 9 行	1.009217	1.0092166

允许误差 0.000001 + 0.000002×|答案|

上面这次运行用的就是这道题的参数

第 2 条

平台算出的数对得上

手算：第一列链比 2.0、1.8、2.5，简单和加权都是 2.1，几何 9^{1/3}，去高低 2.0；去高低选定后 CDF = 2.0 × 1.1 × 1.05 = 2.31

参数选定的平均方法去掉最高、最低后的简单平均去掉几个最高的 1去掉几个最低的 1输入的三角形的第一个事故年 2,020三角形输入的三角形累计三角形 10 个数其余用默认值

项	标准答案	平台算出
几何表 averages · 第 1 行	2.0800838	2.0800838
去高低表 averages · 第 1 行	2	2
简单表 averages · 第 1 行	2.1	2.1
加权表 averages · 第 1 行	2.1	2.1
已发展的比例 1/CDF表 factors · 第 1 行	0.43290043	0.43290043
最终表 reserves · 第 4 行	231	231

允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

第 3 条
平台算出的数对得上
手算：发展因子正好是 1 + e^{−1}、1 + e^{−2}、1 + e^{−3}，ln(f − 1) = −j，尾部因子 = ∏_{k=4}^{103}(1 + e^{−k})
参数输入的三角形的第一个事故年 2,020尾部因子指数衰减曲线外推（ln(f − 1) 对发展期线性）曲线外推：从第几个发展期开始拟合 1三角形输入的三角形累计三角形 10 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
尾部因子tail 1.0292013 1.0292013
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
尾部因子tail	1.0292013	1.0292013

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：10 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 16 行166 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.reserving import development34result = development.development_factors(5    triangle="raa",6    values=[100, 150, 165, 120, 180, 130],7    first_origin=2015,8    average="volume",9    n_periods=0,10    drop_high=1,11    drop_low=1,12    tail="none",13    tail_constant=1,14    tail_fit_from=1,15)16print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Friedland：Estimating Unpaid Claims Using Basic Techniques第 7 章 Development technique
Mack (1993) Distribution-free calculation of the standard error of chain ladder reserve estimates

覆盖的考试公式

RSV-001链梯法（发展因子法）FAMASTAMCAS5CM2SP8
RSV-008已报告百分比与未决估计CAS5

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

列出逐年的链比，按加权、简单、去高低、几何平均和最近几年分别算发展因子放在一起比较；按选定的平均和尾部因子（输入或曲线外推）算累计因子、已发展的比例、最终值和未决。

说明和限制

曲线外推只用大于 1 的发展因子，外推 100 期。
去高低平均：每列去掉最高和最低的几个链比后简单平均；剩下的不足 1 个时不去掉。
已发展的比例 1/CDF 只在发展因子都大于 1 时有“已报告百分比”的意思。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

loss-triangle-sample

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

准备金评估，还有 17 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“每个发展期的发展因子该选哪个平均？最近几年还是全部？最后一期以后还要乘多少尾部因子？”