期望赔付率法、BF 法和 Benktander 法 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

三角形

先验的期望赔付率

0.013

发展因子的平均方法

尾部因子

15

Benktander 的迭代次数

1 是 BF，2 是 Benktander

150

当前选项用不到的 3 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

公开样例

公开样例：XYZ 保险公司已报案赔款（Friedland，chainladder 样例 xyz）

输出

用时 216 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:23 运行

最新累计合计: 44.96 万
链梯法的未决: 12.28 万
期望赔付率法的未决: 6.287 万
BF 法的未决: 9.622 万
Benktander（迭代 2 次）的未决: 10.53 万

各方法的最终值

链梯法
期望赔付率法
BF 法
Benktander

纵轴：最终值

发展因子factors11 行 · 4 列

结果表发展因子
发展期	发展因子	到最终的累计因子	已发展的比例 1/CDF
12-24	1.67569	3.2955	0.303444
24-36	1.33935	1.96665	0.508479
36-48	1.19341	1.46836	0.681033
48-60	1.09591	1.23039	0.812749
60-72	1.07697	1.12272	0.890697
72-84	1.03361	1.04248	0.959252
84-96	1.01902	1.00858	0.991494
96-108	0.997636	0.989758	1.01035
108-120	0.992918	0.992103	1.00796
120-132	0.999179	0.999179	1.00082
132-最终	1	1	1

各事故年四种方法的最终损失origins11 行 · 13 列

结果表各事故年四种方法的最终损失
事故年	保费	最新累计	到最终的因子	已发展比例	链梯法	期望赔付率法	BF 法	Benktander	链梯法未决	期望赔付率法未决	BF 未决	Benktander 未决
1998	20,000	15,822	1	1	15,822	14,000	15,822	15,822	0	-1,822	0	0
1999	31,500	25,107	0.999179	1.00082	25,086.39	22,050	25,088.88	25,086.39	-20.612	-3,057	-18.1172	-20.614
2000	45,000	37,246	0.992103	1.00796	36,951.88	31,500	36,995.27	36,951.53	-294.12	-5,746	-250.726	-294.465
2001	50,000	38,798	0.989758	1.01035	38,400.61	35,000	38,435.8	38,400.25	-397.386	-3,798	-362.195	-397.75
2002	61,183	48,169	1.00858	0.991494	48,582.23	42,828.1	48,533.28	48,581.81	413.226	-5,340.9	364.284	412.81
2003	69,175	44,373	1.04248	0.959252	46,257.94	48,422.5	46,346.14	46,261.54	1,884.94	4,049.5	1,973.14	1,888.54
2004	99,322	70,288	1.12272	0.890697	78,913.51	69,525.4	77,887.36	78,801.35	8,625.51	-762.6	7,599.36	8,513.35
2005	138,151	70,655	1.23039	0.812749	86,933.37	96,705.7	88,763.25	87,276.02	16,278.37	26,050.7	18,108.25	16,621.02
2006	107,578	48,804	1.46836	0.681033	71,661.72	75,304.6	72,823.68	72,032.35	22,857.72	26,500.6	24,019.68	23,228.35
2007	62,438	31,732	1.96665	0.508479	62,405.72	43,706.6	53,214.71	57,888.15	30,673.72	11,974.6	21,482.71	26,156.15
2008	47,797	18,632	3.2955	0.303444	61,401.77	33,457.9	41,937.3	47,843.68	42,769.77	14,825.9	23,305.3	29,211.68

累计损失三角形triangle11 行 · 12 列

结果表累计损失三角形
事故年	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132
1998	—	—	11,171	12,380	13,216	14,067	14,688	16,366	16,163	15,835	15,822
1999	—	13,255	16,405	19,639	22,473	23,764	25,094	24,795	25,071	25,107	—
2000	15,676	18,749	21,900	27,144	29,488	34,458	36,949	37,505	37,246	—	—
2001	11,827	16,004	21,022	26,578	34,205	37,136	38,541	38,798	—	—	—
2002	12,811	20,370	26,656	37,667	44,414	48,701	48,169	—	—	—	—
2003	9,651	16,995	30,354	40,594	44,231	44,373	—	—	—	—	—
2004	16,995	40,180	58,866	71,707	70,288	—	—	—	—	—	—
2005	28,674	47,432	70,340	70,655	—	—	—	—	—	—	—
2006	27,066	46,783	48,804	—	—	—	—	—	—	—	—
2007	19,477	31,732	—	—	—	—	—	—	—	—	—
2008	18,632	—	—	—	—	—	—	—	—	—	—

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

手算：发展因子 1.5、1.1，到最终的因子 1、1.1、1.65；先验 0.7 × 保费；BF 第 3 年 130 + 210 × (1 − 1/1.65)；Benktander 再用 BF 的结果代替先验迭代一次

参数先验的期望赔付率 0.7Benktander 的迭代次数 2每个事故年的已赚保费 3 个数三角形输入的三角形累计三角形 6 个数其余用默认值

项	标准答案	平台算出
BF 法表 origins · 第 2 行	195.90909	195.90909
Benktander表 origins · 第 3 行	213.80165	213.80165
BF 法表 origins · 第 3 行	212.72727	212.72727
链梯法表 origins · 第 3 行	214.5	214.5
期望赔付率法表 origins · 第 3 行	210	210

允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

第 2 条
平台算出的数对得上
另一种算法：Benktander = Z × 链梯法 + (1 − Z) × BF 法，Z = 1/CDF（Mack 2000）
参数先验的期望赔付率 0.7Benktander 的迭代次数 2每个事故年的已赚保费 3 个数三角形输入的三角形累计三角形 6 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
Benktander表 origins · 第 3 行 213.80165 213.80165
说明：BF 迭代两次的公式和信度加权的公式是同一个数，两种算法互相核对
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
Benktander表 origins · 第 3 行	213.80165	213.80165

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：8 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 14 行216 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.reserving import expected34result = expected.expected_claims(5    triangle="xyz_incurred",6    values=[100, 150, 165, 120, 180, 130],7    premiums=[200, 250, 300],8    first_origin=2015,9    elr=0.7,10    average="volume",11    tail=1,12    iterations=2,13)14print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Friedland：Estimating Unpaid Claims Using Basic Techniques第 8、9 章 Expected claims、BF
Mack (2000) Credible claims reserves: the Benktander method

覆盖的考试公式

RSV-002期望赔付率法FAMASTAMCAS5
RSV-003Bornhuetter-Ferguson 法FAMASTAMCAS5
RSV-004Benktander 法（信度加权）CAS5
RSV-008已报告百分比与未决估计CAS5

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

对同一张三角形和保费，算链梯法、期望赔付率法（保费 × 先验赔付率）、BF 法和 Benktander 法（BF 再迭代）的最终值和未决，并列出每个事故年的已发展比例。

说明和限制

迭代次数趋于无穷时 Benktander 的结果趋于链梯法。
未决 = 最终值 − 最新累计。三角形是已付时就是全部未付（含已报案未决）；是已报案时就是 IBNR。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

准备金评估，还有 17 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“近几年的事故年还没发展多少，链梯法太跳，先验的赔付率又不一定准，几种方法的结果差多少？”