短期利率模型：Vasicek 和 CIR

参考

• IFoA CM2 课程利率的期限结构模型：Vasicek、CIR
• Hull：Options, Futures, and Other Derivatives第 31 章利率模型
• Brigo、Mercurio：Interest Rate Models – Theory and Practice第 3.2 节

覆盖的考试公式

• DER-003Ornstein-Uhlenbeck 与均值回复过程CM2
• DER-004零息债券价格、远期利率与瞬时远期利率CM1CM2
• DER-005Vasicek 模型债券价格CM2
• DER-006CIR 模型债券价格CM2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

Vasicek（Ornstein-Uhlenbeck）和 Cox-Ingersoll-Ross 两个均值回复的短期利率模型：零息债券价格的闭式解 P = e^{H − Gr}，即期收益率、瞬时远期利率和长期利率，短期利率在未来的均值、方差和分位数（Vasicek 的负利率概率、CIR 的 Feller 条件），按精确的转移分布模拟路径，并用模拟核对债券价格。也可以输入一列历史利率，用 AR(1) 回归估计 Vasicek 的 κ、θ、σ。

说明和限制

• 参数都在风险中性测度下（市场风险价格已经并进 θ）。用历史利率估计出的是真实世界的参数，直接拿来定价要另加风险溢价。
• Vasicek 的利率可以是负数；CIR 的利率不会是负数，2κθ ≥ σ² 时（Feller 条件）也不会碰到 0。
• 瞬时远期利率按 f = −∂ln P/∂T = G′(T)r₀ − H′(T) 的解析导数算。长期利率 R(∞)：Vasicek 是 θ − σ²/(2κ²)，CIR 是 2κθ/(κ + γ)。
• 模拟用精确的转移分布（不是欧拉格式），每年 12 步。模拟的债券价格 E[e^{−∫r dt}] 用梯形公式近似积分，和闭式解的差主要是这个近似和抽样误差。
• 估计参数时：r_{k+1} = a + b·r_k + ε 的最小二乘，κ = −ln b/Δ，θ = a/(1 − b)，σ = s_ε·√(2κ/(1 − b²))。b 不在 (0, 1) 里时没有均值回复，不能估计。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

• scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
• numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算