隐含波动率和波动率微笑

参考

• Hull：Options, Futures, and Other Derivatives第 15 章隐含波动率；第 20 章波动率微笑

覆盖的考试公式

• DER-017Black-Scholes 公式（含连续股息）FAMALTAMCM2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

由欧式期权的价格反解 Black-Scholes 公式里的 σ：先给出无套利区间，再用 Newton-Raphson 迭代（列出每一步）和 brentq 求根。也可以输入一组行权价和价格，画出波动率微笑或偏斜。

说明和限制

• 价格要在无套利区间里：看涨在 (Se^{−qT} − Ke^{−rT})+ 和 Se^{−qT} 之间，看跌在 (Ke^{−rT} − Se^{−qT})+ 和 Ke^{−rT} 之间。不在区间里时没有隐含波动率（显示为空）。
• 求根的范围是 σ ∈ [0.000001, 5]。Newton 的起点是 Brenner-Subrahmanyam 近似 σ₀ = √(2π/T)·c/S（限制在 0.05 到 2 之间）。
• 波动率微笑默认用 9 个行权价的演示报价（偏斜的形状，低行权价的隐含波动率高，像股指期权）。按惯例用虚值期权：行权价低于现价用看跌，否则用看涨。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

• scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验