奇异期权：二元、缺口、交换、选择、障碍、亚式

二元期权、障碍期权、亚式期权这些非标准期权值多少钱？和同样条件的普通欧式期权比贵还是便宜？

SOA FAMSOA ALTAMIFoA CM2按输入的参数计算

公式

\displaystyle \text{现金或无}:Qe^{-rT}N(d_2),\ \text{资产或无}:Se^{-qT}N(d_1);\ \text{缺口}:Se^{-qT}N(d_1)-K_1e^{-rT}N(d_2),\ d\text{ 用 }K_2;\ \text{Margrabe}:S_1e^{-q_1T}N(d_1)-S_2e^{-q_2T}N(d_2),\ \hat\sigma^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2;\ \text{选择}:c(K,T)+e^{-q(T-t_1)}p\big(Ke^{-(r-q)(T-t_1)},t_1\big);\ c_{di}=Se^{-qT}(H/S)^{2\lambda}N(y)-Ke^{-rT}(H/S)^{2\lambda-2}N(y-\sigma\sqrt T),\ \lambda=\frac{r-q+\sigma^2/2}{\sigma^2};\ \text{几何亚式}:\sigma_G=\sigma/\sqrt3,\ q_G=\tfrac12(r+q+\sigma^2/6)

对过的标准答案: 8 条
覆盖的考试公式: 2 个
参数: 21 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

期权

障碍的种类

标的现价 S元

交换期权的 S₁

0.01 元100 万元

行权价 K元

0.01 元100 万元

到期时间 T年

0.01 年30 年

无风险利率 r%

-5%30%

连续股息率 q

交换期权的 q₁

00.3

波动率 σ

交换期权的 σ₁

0.012

障碍水平 H元

0.01 元100 万元

当前选项用不到的 12 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：障碍期权（连续观察，没有返还）

输出

用时 298 毫秒 · 11/14 22:23 运行

价格: 8.63904元
同条件普通欧式期权的价格: 10.1592元
价格 ÷ 普通期权: 0.850364

标的价格和期权价格

纵轴：价格（元）

同类期权的价格和普通期权variants10 行 · 3 列

结果表同类期权的价格和普通期权
期权	标识	价格（元）
下降敲出看涨	down_out_call	8.63904
下降敲入看涨	down_in_call	1.52019
上升敲出看涨	up_out_call	0
上升敲入看涨	up_in_call	10.1592
下降敲出看跌	down_out_put	0.178316
下降敲入看跌	down_in_put	5.22279
上升敲出看跌	up_out_put	0
上升敲入看跌	up_in_put	5.40111
普通看涨		10.1592
普通看跌		5.40111

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

8 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
独立数值积分：对数价格在不碰下方障碍时的密度（镜像法）φ(x; ν) − e^{2νb/σ²}φ(x − 2b; ν)，用 quad 积分到期收益；敲入 = 普通 − 敲出
参数障碍水平 H 40 元行权价 K 50 元标的现价 S 50 元到期时间 T 1 年障碍的种类下降敲出看涨连续股息率 q 0无风险利率 r 10%波动率 σ 0.4期权障碍期权（连续观察，没有返还）其余用默认值
项标准答案这次算出
价格price 8.6390429 8.6390429
价格（元）表 variants · barrier_type=down_in_call 1.5201917 1.5201917
允许误差 1×10⁻⁸
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 2 条
平台算出的数对得上
独立数值积分：对数价格在不碰上方障碍时的镜像法密度，quad 积分到期收益
参数障碍水平 H 60 元行权价 K 50 元标的现价 S 50 元到期时间 T 0.5 年障碍的种类上升敲出看跌连续股息率 q 0.02无风险利率 r 5%波动率 σ 0.3期权障碍期权（连续观察，没有返还）其余用默认值
项标准答案平台算出
价格price 3.6204783 3.6204783
价格（元）表 variants · barrier_type=up_out_call 0.49323965 0.49323965
允许误差 1×10⁻⁸
第 3 条
平台算出的数对得上
Hull 第 26 章亚式期权的例子：S = K = 50，r = 10%，σ = 40%，1 年，连续几何平均的看涨期权 5.13
参数行权价 K 50 元标的现价 S 50 元到期时间 T 1 年几何平均的方式连续平均看涨还是看跌看涨期权连续股息率 q 0无风险利率 r 10%波动率 σ 0.4期权亚式期权：几何平均价格（闭式）其余用默认值
项标准答案平台算出
价格price 5.13 5.1345041
说明：书里保留 2 位小数；精确值 5.1345（σ_G = 0.4/√3、q_G = (0.1 + 0.4²/6)/2 代入 BS 手算）
允许误差 0.005
第 4 条
平台算出的数对得上
Hull 第 26 章亚式期权的例子：同样的参数，算术平均价格看涨期权按矩匹配近似是 5.62
参数行权价 K 50 元标的现价 S 50 元到期时间 T 1 年看涨还是看跌看涨期权亚式期权的观察点个数 12连续股息率 q 0无风险利率 r 10%波动率 σ 0.4期权亚式期权：算术平均价格（模拟，几何平均作控制变量）其余用默认值
项标准答案平台算出
levy 5.62 5.6167915
允许误差 0.005
第 5 条
平台算出的数对得上
独立二维数值积分：S₁、S₂ 的联合对数正态（风险中性，相关 0.4），scipy dblquad 积分 e^{−rT}E[(S₁ − S₂)+]（与 r 无关）
参数标的现价 S 50 元交换期权：资产 2 的现价 S₂ 45 元到期时间 T 1.5 年连续股息率 q 0.01交换期权：资产 2 的股息率 q₂ 0.03交换期权：两个资产的相关系数 ρ 0.4波动率 σ 0.3交换期权：资产 2 的波动率 σ₂ 0.25期权交换期权（Margrabe）：到期收 max(S₁ − S₂, 0)其余用默认值
项标准答案平台算出
价格price 10.373854 10.373854
允许误差 1×10⁻⁷
第 6 条
平台算出的数对得上
独立数值积分：t₁ 时的价值 max(c, p) 对 S_{t₁} 的对数正态密度用 quad 积分，再折现（c、p 用另写的 BS 公式）
参数行权价 K 50 元标的现价 S 50 元到期时间 T 0.5 年连续股息率 q 0.05无风险利率 r 8%波动率 σ 0.25选择或开始的时间 t₁ 0.25 年期权选择期权：t₁ 时选看涨还是看跌（同一 K、T）其余用默认值
项标准答案平台算出
价格price 5.8507937 5.8507937
允许误差 1×10⁻⁸
第 7 条
平台算出的数对得上
独立数值积分：e^{−rT}∫_{K₂}^∞ (s − K) f(s) ds，f 是 S_T 的对数正态密度（quad）
参数行权价 K 50 元缺口期权的触发价 K₂ 55 元标的现价 S 50 元到期时间 T 1 年看涨还是看跌看涨期权连续股息率 q 0无风险利率 r 10%波动率 σ 0.4期权缺口期权：S_T 越过触发价 K₂ 时收 S_T − K（看涨）其余用默认值
项标准答案平台算出
价格price 9.9492102 9.9492102
允许误差 1×10⁻⁸
第 8 条
平台算出的数对得上
独立数值积分：Q e^{−rT} Pr_Q(S_T > K)，概率用 quad 积分对数正态密度
参数行权价 K 50 元二元期权付的金额 Q 10 元标的现价 S 50 元到期时间 T 1 年看涨还是看跌看涨期权连续股息率 q 0无风险利率 r 10%波动率 σ 0.4期权现金或无（二元期权）：到期在价内付固定金额 Q其余用默认值
项标准答案平台算出
价格price 4.7046009 4.7046009
允许误差 1×10⁻⁸

项	标准答案	这次算出
价格price	8.6390429	8.6390429
价格（元）表 variants · barrier_type=down_in_call	1.5201917	1.5201917

项	标准答案	平台算出
价格price	3.6204783	3.6204783
价格（元）表 variants · barrier_type=up_out_call	0.49323965	0.49323965

项	标准答案	平台算出
价格price	5.13	5.1345041

项	标准答案	平台算出
levy	5.62	5.6167915

项	标准答案	平台算出
价格price	10.373854	10.373854

项	标准答案	平台算出
价格price	5.8507937	5.8507937

项	标准答案	平台算出
价格price	9.9492102	9.9492102

项	标准答案	平台算出
价格price	4.7046009	4.7046009

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：21 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 27 行298 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.derivatives import exotic_options34result = exotic_options.exotic_options(5    type="barrier",6    kind="call",7    barrier_type="down_out_call",8    averaging="continuous",9    S=50,10    K=50,11    T=1,12    r=0.1,13    q=0,14    sigma=0.4,15    Q=10,16    K2=55,17    S2=50,18    sigma2=0.3,19    q2=0,20    rho=0.5,21    t1=0.5,22    H=40,23    n_fix=12,24    n_paths=40000,25    seed=2026,26)27print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Hull：Options, Futures, and Other Derivatives第 26 章奇异期权
McDonald：Derivatives Markets第 14 章奇异期权（一）；第 23 章奇异期权（二）
Margrabe (1978) The value of an option to exchange one asset for another

覆盖的考试公式

DER-017Black-Scholes 公式（含连续股息）FAMALTAMCM2
DER-020风险中性定价与 Girsanov 变换CM2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

几何布朗运动下奇异期权的价格：现金或无、资产或无、缺口、交换（Margrabe）、简单选择、远期开始、8 种连续观察的障碍期权（闭式）、几何平均亚式（连续或离散，闭式），以及算术平均亚式（模拟，用几何平均作控制变量，并给出矩匹配近似）。和同条件的普通期权对比，画出价格随标的价格的变化。

说明和限制

障碍期权按连续观察、没有返还；一开始就越过了障碍时，敲出期权值 0，敲入期权等于普通期权。敲入 + 敲出 = 普通期权。
离散观察的障碍期权可以用 Broadie-Glasserman-Kou 修正：把障碍往外移 e^{±0.5826σ√(T/m)}（m 是观察次数），这里没有做。
交换期权在资产 2 的测度下就是行权价为 S₂ 的看涨期权：利率换成 q₂，波动率换成 σ̂。
算术平均亚式期权没有闭式解：用对偶变量加控制变量模拟（观察点等距，最后一个在 T）。矩匹配近似是连续平均的，只作参考。
远期开始期权在 t₁ 时开始一个平值期权，它的价值 = e^{−q t₁} × 今天开始、期限 T − t₁ 的平值期权的价值。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

衍生品与资产模型，还有 14 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“二元期权、障碍期权、亚式期权这些非标准期权值多少钱？和同样条件的普通欧式期权比贵还是便宜？”