蒙特卡罗期权定价和方差缩减

参考

• Hull：Options, Futures, and Other Derivatives第 21 章蒙特卡罗模拟和方差缩减
• Glasserman：Monte Carlo Methods in Financial Engineering第 4 章方差缩减
• IFoA CM2 课程风险中性定价、Girsanov 定理、状态价格平减因子

覆盖的考试公式

• DER-020风险中性定价与 Girsanov 变换CM2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

风险中性定价 V = e^{−rT}E_Q[收益]：模拟到期股价，给出普通、对偶变量、控制变量 3 种估计的价格、标准误、95% 置信区间和方差缩减倍数，并和 Black-Scholes 闭式解对比。另用真实世界的漂移 μ 模拟、乘上状态价格平减因子（Girsanov 变换的 Radon-Nikodym 导数），得到同一个价格。

说明和限制

• 4 种估计用同一组正态随机数 Z（对偶变量用 Z 和 −Z），所以差别只来自估计方法。
• 方差缩减倍数 = 普通估计的方差 ÷ 这个估计的方差（按每次模拟的工作量相同折算：对偶变量一对算两次）。
• 平减因子那一行在真实世界里模拟（W 的漂移是 μ），每条路径乘上 e^{−rT}·e^{−γW_T−γ²T/2}；它的期望等于风险中性价格，方差可能比普通估计大也可能小（取决于 μ 和收益的形状）。
• 列 “z 值” = (估计 − 闭式解) ÷ 标准误。|z| < 2 左右说明估计和闭式解一致。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

• scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
• numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算