股价的对数正态模型（几何布朗运动）

股价服从几何布朗运动时，半年后的股价超过某个价的概率是多少？95% 的区间是多少？超过这个价时平均是多少？

SOA FAMIFoA CM2按输入的参数计算

公式

\displaystyle dS_t=(\mu-\delta)S_tdt+\sigma S_tdW_t

\displaystyle S_T=S_0\exp\!\big[(\mu-\delta-\tfrac{\sigma^2}{2})T+\sigma W_T\big]

\displaystyle \Pr(S_T>K)=N(\hat d_2),\ \mathrm{E}[S_T\mid S_T>K]=S_0e^{(\mu-\delta)T}\frac{N(\hat d_1)}{N(\hat d_2)},\ \hat d_{1,2}=\frac{\ln(S_0/K)+(\mu-\delta\pm\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T}

\displaystyle df(S_t,t)=\Big(f_t+(\mu-\delta)Sf_S+\tfrac12\sigma^2S^2f_{SS}\Big)dt+\sigma Sf_SdW_t

对过的标准答案: 3 条
覆盖的考试公式: 2 个
参数: 11 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

测度

现价 S₀元

0.01 元100 万元

期望收益率 μ

连续复利，真实世界

-0.51

连续股息率 δ

00.3

波动率 σ

0.0012

时间 T年

0.001 年50 年

关心的价格 K元

0.01 元100 万元

预测区间的置信水平

0.50.999

其余 2 个参数

幂 a

算 E[S_T^a] 和 S^a 的 Itô 式

-55

随机数种子

模拟的路径

0214,748.36 万

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算（真实世界（期望收益率 μ））

输出

用时 889 毫秒 · 11/14 22:23 运行

E[S_T]: 43.3315元
Var(S_T): 37.9304元²
标准差: 6.15877元
中位数: 42.9003元
95.0% 预测区间的下限: 32.5149元
95.0% 预测区间的上限: 56.6029元
Pr(S_T > 45): 0.367728
Pr(S_T < 45): 0.632272
E[S_T | S_T > 45]: 49.7416元
E[S_T | S_T < 45]: 39.6034元
E[S_T^2]: 1,915.55
连续复利收益率的期望（每年）: 0.14
ln S_T 的均值: 3.75888
ln S_T 的标准差: 0.141421

模拟的路径和分位数带

5% 分位数
中位数
95% 分位数
路径 1
路径 2
路径 3
路径 4
路径 5

纵轴：股价（元）

到期股价的概率和条件期望conditional6 行 · 2 列

结果表到期股价的概率和条件期望
量	值
Pr(S_T > 45)	0.367728
Pr(S_T < 45)	0.632272
E[S_T \| S_T > 45]	49.7416
E[S_T \| S_T < 45]	39.6034
部分期望 E[S_T·1(S_T > 45)]	18.2914
E[(S_T − 45)+]（未折现）	1.74362

Itô 引理：常用函数的随机微分方程ito5 行 · 3 列

结果表 Itô 引理：常用函数的随机微分方程
函数 Y = f(S)	dt 的系数	dW 的系数
S（股价本身）	0.16·S	0.2·S
ln S	0.14	0.2
S^a（a = 2）	0.36·S^a	0.4·S^a
1/S	-0.12·(1/S)	-0.2·(1/S)
e^{(r−δ)(T−t)}S（远期价格）	0.11·F	0.2·F

到期股价的分位数quantiles9 行 · 3 列

结果表到期股价的分位数
概率	S_T 的分位数	对应的年化连续复利收益率
0.01	30.8731	-0.517991
0.05	33.9967	-0.325235
0.1	35.789	-0.222478
0.25	38.9973	-0.0507745
0.5	42.9003	0.14
0.75	47.194	0.330775
0.9	51.4247	0.502478
0.95	54.1359	0.605235
0.99	59.6131	0.797991

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02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 2 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
Hull 第 15 章的例子：S₀ = 40，μ = 16%，σ = 20%，半年；ln S_T ~ N(3.759, 0.141²)，95% 区间 32.55 到 56.56，E[S_T] = 43.33，Var = 37.93
参数现价 S₀ 40 元时间 T 0.5 年预测区间的置信水平 0.95测度真实世界（期望收益率 μ）期望收益率 μ 0.16连续股息率 δ 0波动率 σ 0.2其余用默认值
项标准答案这次算出
95.0% 预测区间的下限lower 32.514908 32.514908
E[S_T]mean 43.33 43.331483
95.0% 预测区间的上限upper 56.6029 56.6029
Var(S_T)var 37.93 37.930387
说明：书里把标准差 0.1414 取成 0.141 再算区间，得到 32.55 和 56.56；不取整时是 e^{3.75888 ∓ 1.95996×0.141421} = 32.5149 和 56.6029（手算）。期望和方差和书一致
允许误差 0.005
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 2 条
这次算出的数对得上
独立数值积分：对 S_T 的对数正态密度（scipy lognorm）用 quad 积分 Pr(S_T > 45)、E[S_T·1{S_T>45}]/Pr 和 E[S_T·1{S_T<45}]/Pr
参数关心的价格 K 45 元现价 S₀ 40 元时间 T 0.5 年测度真实世界（期望收益率 μ）期望收益率 μ 0.16连续股息率 δ 0波动率 σ 0.2其余用默认值
项标准答案这次算出
E[S_T | S_T > 45]cond_above 49.741608 49.741608
E[S_T | S_T < 45]cond_below 39.603369 39.603369
Pr(S_T > 45)prob_above 0.36772791 0.36772791
允许误差 1×10⁻⁸
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 3 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算：E[S_T^a] = S₀^a exp{[a(r − δ) + ½a(a − 1)σ²]T}，a = 2
参数现价 S₀ 100 元时间 T 2 年幂 a 2测度风险中性（漂移 r）连续股息率 δ 0.02无风险利率 r 5%波动率 σ 0.3其余用默认值
项标准答案平台算出
E[S_T^2]power_mean 13,498.588 13,498.588
允许误差 0 + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	这次算出
95.0% 预测区间的下限lower	32.514908	32.514908
E[S_T]mean	43.33	43.331483
95.0% 预测区间的上限upper	56.6029	56.6029
Var(S_T)var	37.93	37.930387

项	标准答案	这次算出
E[S_T \| S_T > 45]cond_above	49.741608	49.741608
E[S_T \| S_T < 45]cond_below	39.603369	39.603369
Pr(S_T > 45)prob_above	0.36772791	0.36772791

项	标准答案	平台算出
E[S_T^2]power_mean	13,498.588	13,498.588

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：11 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 17 行889 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.derivatives import lognormal_stock34result = lognormal_stock.lognormal_stock(5    measure="real",6    S0=40,7    mu=0.16,8    r=0.05,9    q=0,10    sigma=0.2,11    T=0.5,12    K=45,13    level=0.95,14    a=2,15    seed=2026,16)17print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Hull：Options, Futures, and Other Derivatives第 14 章股价的维纳过程和 Itô 引理；第 15 章股价的对数正态性
McDonald：Derivatives Markets第 18 章对数正态分布；第 20 章 Itô 引理
IFoA CM2 课程几何布朗运动和 Itô 引理

覆盖的考试公式

DER-001Itô 引理CM2
DER-002几何布朗运动FAMCM2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

几何布朗运动 dS = (μ − δ)S dt + σS dW 下到期股价 S_T 的对数正态分布：期望、方差、中位数、分位数和预测区间，Pr(S_T > K)，条件期望 E[S_T | S_T > K] 和 E[S_T | S_T < K]，E[S_T^a]；Itô 引理给出 ln S、S^a、1/S 的漂移和波动率；真实世界和风险中性两种测度；模拟的路径和分位数带。

说明和限制

μ 是不含股息的总期望收益率（连续复利），股价的漂移是 μ − δ。风险中性测度下把 μ 换成 r。
连续复利收益率 ln(S_T/S₀)/T 的期望是 μ − δ − σ²/2，比 μ − δ 小：这是 Itô 引理里 ½σ² 的那一项。
Itô 引理表里每行是 dY = (漂移)dt + (波动)dW 的系数，用的是所选测度的漂移。
路径图用固定的种子模拟 20 条路径（每条 100 步），分位数带是闭式的。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

衍生品与资产模型，还有 14 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“股价服从几何布朗运动时，半年后的股价超过某个价的概率是多少？95% 的区间是多少？超过这个价时平均是多少？”