远期和期货的价格（持有成本） · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

标的资产

标的现价 S₀元

0.0001 元1,000 万元

合约的剩余期限 T年

0.001 年30 年

无风险利率 r%

连续复利

-5%30%

现金收益的时间3 个数

年

最小 0.25最大 0.75均值 0.5

1–60 个数，每个在 0–30 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

每次现金收益的金额3 个数

元，和时间一一对应

最小 0.75最大 0.75均值 0.75

1–60 个数，每个在 0–100 万之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

已经签的合约的交割价 K元

0 元1,000 万元

当前选项用不到的 4 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：有已知现金收益的资产（离散股息、附息债券的票息）

输出

用时 201 毫秒 · 11/14 22:22 运行

0.833333 年的远期价格 F₀: 51.1358元
交割价 50 的多头合约现在的价值: 1.06259元
期限内现金收益的现值 I: 2.16206元
持有成本（每年，连续复利）: —
远期价格 ÷ 现价: 1.02272

期限和远期价格

纵轴：远期价格（元）

不同期限的远期价格by_term8 行 · 3 列

结果表不同期限的远期价格
期限（年）	远期价格	期限内现金收益的现值
0.25	50.2601	0.735149
0.5	50.5254	1.45574
0.833333	51.1358	2.16206
1	51.8222	2.16206
2	56.1383	2.16206
3	60.8139	2.16206
5	71.3658	2.16206
10	106.465	2.16206

现金收益和它的现值income3 行 · 4 列

结果表现金收益和它的现值
时间（年）	金额	现值	是否计入
0.25	0.75	0.735149	算
0.5	0.75	0.720592	算
0.75	0.75	0.706323	算

02标准答案

5 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
平台算出的数对得上
Hull 第 5 章的例子：不分红的股票 S = 40，r = 5%，3 个月，远期价格 40e^{0.0125} = 40.50
参数已经签的合约的交割价 K 40 元标的现价 S₀ 40 元合约的剩余期限 T 0.25 年标的资产没有收益的资产（不分红的股票、零息债券）无风险利率 r 5%其余用默认值
项标准答案平台算出
0.833333 年的远期价格 F₀forward 40.503138 40.503138
允许误差 1×10⁻⁷
第 2 条
这次算出的数对得上
Hull 第 5 章的例子：S = 50，r = 8%，3、6、9 个月各付股息 0.75，I = 2.162，10 个月的远期价格 (50 − 2.162)e^{0.08×10/12} = 51.14；手算
参数已经签的合约的交割价 K 50 元标的现价 S₀ 50 元合约的剩余期限 T 0.8333 年标的资产有已知现金收益的资产（离散股息、附息债券的票息）每次现金收益的金额 3 个数现金收益的时间 3 个数无风险利率 r 8%其余用默认值
项标准答案这次算出
0.833333 年的远期价格 F₀forward 51.13584 51.13584
期限内现金收益的现值 Ipv_income 2.1620645 2.1620645
允许误差 1×10⁻⁸
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 3 条
平台算出的数对得上
Hull 第 5 章已有远期合约的价值的例子：S = 25，K = 24，剩 6 个月，r = 10%，f = 25 − 24e^{−0.05} = 2.17
参数已经签的合约的交割价 K 24 元标的现价 S₀ 25 元合约的剩余期限 T 0.5 年标的资产没有收益的资产（不分红的股票、零息债券）无风险利率 r 10%其余用默认值
项标准答案平台算出
交割价 50 的多头合约现在的价值value 2.1704938 2.1704938
允许误差 1×10⁻⁹
第 4 条
平台算出的数对得上
利率平价的闭式公式手算：S = 0.75，r = 1%，r_f = 3%，2 年，F = 0.75e^{(0.01−0.03)×2}（Hull 第 5 章外汇远期的例子）
参数已经签的合约的交割价 K 0.75 元标的现价 S₀ 0.75 元合约的剩余期限 T 2 年标的资产外汇（q 换成外币利率 r_f）无风险利率 r 1%外币的无风险利率 r_f 3%其余用默认值
项标准答案平台算出
0.833333 年的远期价格 F₀forward 0.72059208 0.72059208
允许误差 0 + 1×10⁻⁹×|答案|
第 5 条
平台算出的数对得上
持有成本的闭式公式手算：F = S e^{(r+u−y)T} = 100e^{0.075}
参数已经签的合约的交割价 K 100 元标的现价 S₀ 100 元合约的剩余期限 T 1.5 年标的资产商品（储存费用率 u、便利收益率 y）便利收益率 y 0.01无风险利率 r 4%储存费用率 u 0.02其余用默认值
项标准答案平台算出
0.833333 年的远期价格 F₀forward 107.78842 107.78842
允许误差 0 + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
0.833333 年的远期价格 F₀forward	40.503138	40.503138

项	标准答案	这次算出
0.833333 年的远期价格 F₀forward	51.13584	51.13584
期限内现金收益的现值 Ipv_income	2.1620645	2.1620645

项	标准答案	平台算出
交割价 50 的多头合约现在的价值value	2.1704938	2.1704938

项	标准答案	平台算出
0.833333 年的远期价格 F₀forward	0.72059208	0.72059208

项	标准答案	平台算出
0.833333 年的远期价格 F₀forward	107.78842	107.78842

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：11 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 17 行201 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.derivatives import forward_price34result = forward_price.forward_price(5    asset="income",6    S=50,7    T=0.8333333333333334,8    r=0.08,9    div_times=[0.25, 0.5, 0.75],10    div_amounts=[0.75, 0.75, 0.75],11    q=0.03,12    rf=0.03,13    storage=0.02,14    conv_yield=0.01,15    K=50,16)17print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Hull：Options, Futures, and Other Derivatives第 5 章远期和期货的定价
IFoA CM2 课程远期合约的定价

覆盖的考试公式

DER-014远期价格CM2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

无套利的远期价格：没有收益、已知离散股息（现值 I）、连续收益率、外汇（利率平价）、商品（储存费用和便利收益）。给出已经签的合约（交割价 K）的现在价值，不同期限的远期价格曲线。利率不随机时期货价格等于远期价格。

说明和限制

假设：没有交易费用，借贷利率相同，可以卖空，利率不随机。利率不随机时期货价格等于远期价格。
离散收益只算合约到期以前（t ≤ T）的部分，现值按无风险利率折现。
已经签的多头合约的价值 f = (F₀ − K)e^{−rT}：F₀ 是现在新签同样期限的合约的价格。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

衍生品与资产模型，还有 14 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“一份远期或期货合约的公平价格是多少？考虑股息、外币利率、商品的储存费用；已经签的远期合约现在值多少钱？”