Black 模型：利率上限、债券期权和互换期权

参考

• Hull：Options, Futures, and Other Derivatives第 29 章利率衍生品：标准市场模型（Black 模型）
• Black (1976) The pricing of commodity contracts

覆盖的考试公式

• DER-017Black-Scholes 公式（含连续股息）FAMALTAMCM2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

市场常用的 Black 模型：把远期利率、远期债券价格或远期互换利率当作对数正态。利率上限和下限按收益率曲线（水平、国债或自己输入）拆成一个个单元分别定价并列表；也可以直接输入一个单元的远期利率；欧式债券期权；付固定或收固定的利率互换期权。

说明和限制

• Black 模型在每个产品自己的远期测度下成立：上限单元在付款日 t_k + δ 的远期测度下，互换期权在年金测度下。不同产品的模型彼此不完全一致，这是市场的惯例。
• 利率上限的第一个单元（重置时间为 0）的利率已经知道，按惯例不计入。每个单元用同一个波动率（平的波动率）。
• 互换期权：互换在期权到期 T 时开始，付款时间 T + 1/m, …, T + 期限；按水平曲线 z_T 折现，远期互换利率由这些折现因子算出。
• 债券期权的行权价按全价理解。远期债券价格 F_B = (B₀ − I)e^{z_T·T}。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

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开源库和版本

• scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验