Black-Scholes 期权价格和希腊值

一个欧式看涨或看跌期权现在值多少钱？标的价格、波动率、利率、时间变一点，价格变多少（Delta、Gamma、Theta、Vega、Rho）？

SOA FAMSOA ALTAMIFoA CM2按输入的参数计算

公式

\displaystyle c=Se^{-q\tau}N(d_1)-Ke^{-r\tau}N(d_2)

\displaystyle p=Ke^{-r\tau}N(-d_2)-Se^{-q\tau}N(-d_1)

\displaystyle d_{1,2}=\frac{\ln(S/K)+(r-q\pm\sigma^2/2)\tau}{\sigma\sqrt\tau}

\displaystyle \Delta_c=e^{-q\tau}N(d_1),\ \Gamma=\frac{e^{-q\tau}N'(d_1)}{S\sigma\sqrt\tau},\ \nu=Se^{-q\tau}N'(d_1)\sqrt\tau

\displaystyle \Theta+(r-q)S\Delta+\tfrac12\sigma^2S^2\Gamma=rV

对过的标准答案: 5 条
覆盖的考试公式: 3 个
参数: 9 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

标的

看哪一个的希腊值

看涨期权看跌期权

标的现价 S元

期货是期货价格 F

0.01 元100 万元

行权价 K元

0.01 元100 万元

到期时间 τ年

0.001 年30 年

无风险利率 r%

连续复利

-5%30%

波动率 σ

年化

0.0013

连续股息率 q

00.3

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：股票或股指（连续股息率 q），股息率 q = 0

输出

用时 355 毫秒 · 缓存 · 11/14 21:02 运行

看涨期权价格 c: 4.75942元
看跌期权价格 p: 0.808599元
看涨期权的 Delta: 0.779131
Gamma: 0.0499627
看涨期权的 Theta（每年）: -4.55909元/年
Vega（σ 变 1）: 8.81342元
看涨期权的 Rho（r 变 1）: 13.982元
d₁: 0.769263
d₂: 0.627841
N(d₂)：风险中性下到期行权的概率（看涨）: 73.49%
平价的差 (c − p) − (Se^{−qτ} − Ke^{−rτ}): 1.78×10⁻¹⁵元
偏微分方程的残差: 1.11×10⁻¹⁶元/年

期权价格和标的价格

看涨期权
看跌期权
看涨的内在价值

纵轴：期权价格（元）

不同标的价格下的价格和 Deltaby_spot11 行 · 6 列

结果表不同标的价格下的价格和 Delta
标的价格	看涨价格	看跌价格	看涨 Delta	看跌 Delta	Gamma
16	2.45×10⁻¹⁰	22.0492	7.03×10⁻¹⁰	-1	1.93×10⁻⁹
20.8	0.000008272	17.2492	0.00001336	-0.999987	0.00002006
25.6	0.00332771	12.4525	0.0031527	-0.996847	0.00264268
30.4	0.115046	7.76422	0.0647221	-0.935278	0.0293945
35.2	0.944338	3.79351	0.315737	-0.684263	0.0714321
40	3.31112	1.3603	0.664313	-0.335687	0.0644538
44.8	7.10927	0.358446	0.889829	-0.110171	0.0297119
49.6	11.6232	0.072384	0.974132	-0.0258676	0.00857354
54.4	16.3626	0.0118021	0.995319	-0.00468148	0.00177241
59.2	21.1525	0.00163029	0.999304	-0.000695721	0.000288043
64	25.951	0.000198577	0.999911	-0.00008923	0.0000393

看涨和看跌期权的希腊值greeks9 行 · 4 列

结果表看涨和看跌期权的希腊值
希腊值	单位	看涨期权	看跌期权
Delta Δ = ∂V/∂S		0.779131	-0.220869
Gamma Γ = ∂²V/∂S²	每 1 元	0.0499627	0.0499627
Theta Θ = ∂V/∂t（每年）	元/年	-4.55909	-0.754174
Theta（每个日历日，÷365）	元/日	-0.0124907	-0.00206623
Vega ν = ∂V/∂σ（σ 变 1，即 100 个百分点）	元	8.81342	8.81342
Vega（σ 变 1 个百分点）	元	0.0881342	0.0881342
Rho ρ = ∂V/∂r（r 变 1）	元	13.982	-5.04254
Psi = ∂V/∂q（股息率或外币利率变 1）	元	-16.3618	4.63824
偏微分方程的残差 Θ + (r−q)SΔ + ½σ²S²Γ − rV	元/年	1.11×10⁻¹⁶	1.67×10⁻¹⁶

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

5 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
Hull《期权、期货及其他衍生产品》第 15 章例子：S = 42，K = 40，r = 10%，σ = 20%，T = 0.5，看涨 4.76，看跌 0.81；精确值用 scipy quad 对对数正态密度独立积分得到
参数行权价 K 40 元标的现价 S 42 元到期时间 τ 0.5 年无风险利率 r 10%波动率 σ 0.2其余用默认值
项标准答案这次算出
看涨期权价格 ccall 4.7594224 4.7594224
看跌期权价格 pput 0.80859937 0.80859937
允许误差 1×10⁻⁷
上面这次运行用的就是这道题的参数

项	标准答案	这次算出
看涨期权价格 ccall	4.7594224	4.7594224
看跌期权价格 pput	0.80859937	0.80859937

第 2 条

平台算出的数对得上

Hull 第 19 章的例子：S = 49，K = 50，r = 5%，σ = 20%，T = 20 周，Δ = 0.522，Γ = 0.066，Θ = −4.31/年，ν = 12.1，ρ = 8.91；更多位数用对积分价格的有限差分独立核对

参数行权价 K 50 元标的现价 S 49 元到期时间 τ 0.3846 年看哪一个的希腊值看涨期权无风险利率 r 5%波动率 σ 0.2其余用默认值

项	标准答案	平台算出
看涨期权表 greeks · 第 1 行	0.5216047	0.52160466
看涨期权表 greeks · 第 2 行	0.06554	0.065544039
看涨期权表 greeks · 第 3 行	-4.3054	-4.3053298
看涨期权表 greeks · 第 5 行	12.1055	12.10548
看涨期权表 greeks · 第 7 行	8.9069	8.906962

允许误差 0.0002

第 3 条
平台算出的数对得上
Hull 第 17 章股指期权的例子：S = 930，K = 900，r = 8%，q = 3%，σ = 20%，2 个月，看涨 51.83；精确值用 quad 积分独立核对
参数行权价 K 900 元标的现价 S 930 元到期时间 τ 0.1667 年连续股息率 q 0.03无风险利率 r 8%波动率 σ 0.2其余用默认值
项标准答案平台算出
看涨期权价格 ccall 51.832957 51.832957
允许误差 0.000001
第 4 条
平台算出的数对得上
Hull 第 18 章期货期权（Black 模型）的例子：F = 20，K = 20，r = 9%，σ = 25%，4 个月，看跌 1.12；精确值用 quad 积分独立核对
参数行权价 K 20 元标的现价 S 20 元到期时间 τ 0.3333 年无风险利率 r 9%波动率 σ 0.25标的期货（Black-76：q 换成 r，标的价格是期货价格 F）其余用默认值
项标准答案平台算出
看跌期权价格 pput 1.1166415 1.1166415
允许误差 0.000001
第 5 条
平台算出的数对得上
独立数值积分：外汇的风险中性漂移是 r − r_f，对对数正态密度用 scipy quad 积分 e^{−rT}E[(S_T − K)+]
参数行权价 K 1.6 元标的现价 S 1.6 元到期时间 τ 0.3333 年无风险利率 r 8%外币的无风险利率 r_f 11%波动率 σ 0.141标的外汇（Garman-Kohlhagen：q 换成外币利率 r_f）其余用默认值
项标准答案平台算出
看涨期权价格 ccall 0.04295773 0.04295773
允许误差 1×10⁻⁸

项	标准答案	平台算出
看涨期权价格 ccall	51.832957	51.832957

项	标准答案	平台算出
看跌期权价格 pput	1.1166415	1.1166415

项	标准答案	平台算出
看涨期权价格 ccall	0.04295773	0.04295773

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：9 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 15 行355 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.derivatives import black_scholes34result = black_scholes.black_scholes(5    underlying="stock",6    kind="call",7    S=42,8    K=40,9    T=0.5,10    r=0.1,11    sigma=0.2,12    q=0,13    rf=0.03,14)15print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Hull：Options, Futures, and Other Derivatives第 15 章 Black-Scholes-Merton 模型；第 17 章股指和外汇期权；第 18 章期货期权；第 19 章希腊值
IFoA CM2 课程Black-Scholes 模型和希腊值
Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks第 14 章嵌入式期权（保证的定价）

覆盖的考试公式

DER-017Black-Scholes 公式（含连续股息）FAMALTAMCM2
DER-018Black-Scholes 偏微分方程CM2
DER-019期权希腊值FAMCM2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

Black-Scholes-Merton 公式：股票（连续股息率）、外汇（Garman-Kohlhagen）、期货（Black-76）的欧式期权价格，全部希腊值，看涨看跌平价和 Black-Scholes 偏微分方程的核对，价格和 Delta 随标的价格变化的曲线。

说明和限制

假设：标的服从几何布朗运动，波动率和利率不变，可以连续交易、没有交易费用，欧式行权。美式期权用 derivatives.binomial_tree。
Theta 是对日历时间 t 的导数（时间过去一年价格的变化），多数期权是负数。Vega、Rho 按参数变 1 给出，按 1 个百分点时除以 100。
最后一行“偏微分方程的残差”是 Θ + (r − q)SΔ + ½σ²S²Γ − rV，应为 0（期货的 q = r，第二项消失）。
保险里的到期保证和身故保证就是看跌期权：见 profit_testing.gmmb、profit_testing.gmdb。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

衍生品与资产模型，还有 14 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“一个欧式看涨或看跌期权现在值多少钱？标的价格、波动率、利率、时间变一点，价格变多少（Delta、Gamma、Theta、Vega、Rho）？”