二叉树期权定价（欧式和美式）

用二叉树算期权的价格：每一步涨跌多少、风险中性概率是多少、怎样用股票和债券复制它？美式看跌期权什么时候应该提前行权？

SOA FAMIFoA CM2按输入的参数计算

公式

\displaystyle q=\frac{e^{(r-\delta)h}-d}{u-d}

\displaystyle V=e^{-rh}[qV_u+(1-q)V_d]

\displaystyle \Delta=e^{-\delta h}\frac{V_u-V_d}{S(u-d)},\ B=e^{-rh}\frac{uV_d-dV_u}{u-d}

\displaystyle u=e^{\sigma\sqrt h},\ d=e^{-\sigma\sqrt h}\ (\text{CRR})

\displaystyle \text{美式}:V=\max\{\text{行权价值},e^{-rh}[qV_u+(1-q)V_d]\}

\displaystyle A_T=e^{-rT}\Big(\frac qp\Big)^{N}\Big(\frac{1-q}{1-p}\Big)^{n-N}

对过的标准答案: 5 条
覆盖的考试公式: 2 个
参数: 13 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

期权

看涨期权看跌期权

行权方式

树的取法

标的现价 S元

0.01 元100 万元

行权价 K元

0.01 元100 万元

到期时间 T年

0.01 年30 年

无风险利率 r%

连续复利

-5%30%

连续股息率 δ

00.3

其余 3 个参数

波动率 σ

0.012

步数 n

13,000

真实世界的期望收益率 μ

只用来算状态价格平减因子

-0.50.5

当前选项用不到的 2 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：Cox-Ross-Rubinstein：u = e^{σ√h}，d = 1/u

输出

用时 945 毫秒 · 11/14 22:24 运行

美式看跌期权的价格（5 步）: 4.48846元
同样的树上欧式期权的价格: 4.31902元
提前行权的价值（美式 − 欧式）: 0.16944元
Black-Scholes 价格（欧式，参考）: 4.07598元
风险中性概率 q: 50.73%
每一步上涨倍数 u: 1.1224
每一步下跌倍数 d: 0.890947
复制组合：第一步持有股票 Δ（股）: -0.41453
复制组合：第一步持有债券 B: 25.215元
用平减因子算的欧式价格 E_P[A·V_T]: 4.31902元

步数增加时收敛到 Black-Scholes

美式二叉树
Black-Scholes（欧式）

纵轴：价格（元）

步数和价格convergence7 行 · 3 列

结果表步数和价格
步数	树的价格	和 Black-Scholes 的差
1	5.2681	1.19212
2	3.98935	-0.0866317
3	4.64408	0.568094
5	4.48846	0.412478
10	4.22008	0.144097
20	4.25237	0.17639
50	4.27202	0.19604

到期的状态价格和平减因子（欧式）maturity6 行 · 7 列

结果表到期的状态价格和平减因子（欧式）
上涨次数 N	到期标的价格	到期收益	风险中性概率	状态价格	真实世界概率	平减因子 A
0	28.0692	21.9308	0.0290287	0.027844	0.0240511	1.1577
1	35.3611	14.6389	0.149456	0.143357	0.133186	1.07636
2	44.5474	5.45264	0.307793	0.295232	0.295014	1.00074
3	56.12	0	0.316939	0.304004	0.326736	0.930428
4	70.6991	0	0.163178	0.156518	0.180934	0.865057
5	89.0656	0	0.0336052	0.0322338	0.0400779	0.804279

树上每个节点的价格和期权价值nodes21 行 · 6 列

结果表树上每个节点的价格和期权价值
第几步	时间（年）	上涨次数	标的价格	期权价值	提前行权
0	0	0	50	4.48846
1	0.0833333	0	44.5474	6.95974
1	0.0833333	1	56.12	2.16252
2	0.166667	0	39.6894	10.3613
2	0.166667	1	50	3.77114
2	0.166667	2	62.9892	0.635984
3	0.25	0	35.3611	14.6389	提前行权
3	0.25	1	44.5474	6.37804
3	0.25	2	56.12	1.30167
3	0.25	3	70.6991	0
4	0.333333	0	31.5049	18.4951	提前行权
4	0.333333	1	39.6894	10.3106	提前行权
4	0.333333	2	50	2.66412
4	0.333333	3	62.9892	0
4	0.333333	4	79.3528	0
5	0.416667	0	28.0692	21.9308
5	0.416667	1	35.3611	14.6389
5	0.416667	2	44.5474	5.45264
5	0.416667	3	56.12	0
5	0.416667	4	70.6991	0
5	0.416667	5	89.0656	0

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

5 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
平台算出的数对得上
Hull 第 13 章单步二叉树的例子：S = 20，u = 1.1，d = 0.9，K = 21，r = 12%，3 个月，价格 0.633，Δ = 0.25；用 scipy 二项分布求和独立核对
参数行权价 K 21 元标的现价 S 20 元到期时间 T 0.25 年每一步下跌的倍数 d 0.9期权看涨期权步数 n 1连续股息率 δ 0无风险利率 r 12%行权方式欧式树的取法自己给每一步的 u 和 d每一步上涨的倍数 u 1.1其余用默认值
项标准答案平台算出
复制组合：第一步持有股票 Δ（股）delta0 0.25 0.25
美式看跌期权的价格（5 步）price 0.6329951 0.6329951
风险中性概率 qq 0.6522727 0.65227267
允许误差 0.000001
第 2 条
平台算出的数对得上
Hull 第 13 章两步美式看跌期权的例子：S = 50，K = 52，u = 1.2，d = 0.8，r = 5%，T = 2，美式 5.0894，欧式 4.1923；用逐节点递归独立核对
参数行权价 K 52 元标的现价 S 50 元到期时间 T 2 年每一步下跌的倍数 d 0.8期权看跌期权步数 n 2连续股息率 δ 0无风险利率 r 5%行权方式美式（每个节点都可以提前行权）树的取法自己给每一步的 u 和 d每一步上涨的倍数 u 1.2其余用默认值
项标准答案平台算出
同样的树上欧式期权的价格bs_or_european 4.1926543 4.1926543
美式看跌期权的价格（5 步）price 5.0896325 5.0896325
允许误差 0.000001
第 3 条
这次算出的数对得上
Hull 第 21 章美式看跌期权 5 步 CRR 树的例子：S = K = 50，r = 10%，σ = 40%，5 个月，价格 4.49；用逐节点递归独立核对
参数行权价 K 50 元标的现价 S 50 元到期时间 T 0.4167 年期权看跌期权步数 n 5连续股息率 δ 0无风险利率 r 10%波动率 σ 0.4行权方式美式（每个节点都可以提前行权）树的取法 Cox-Ross-Rubinstein：u = e^{σ√h}，d = 1/u其余用默认值
项标准答案这次算出
美式看跌期权的价格（5 步）price 4.4884585 4.4884585
允许误差 0.000001
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 4 条
平台算出的数对得上
独立计算：500 步 CRR 欧式价格用二项分布的概率直接求和（不倒推）；Black-Scholes 4.7594 见 Hull 第 15 章
参数行权价 K 40 元标的现价 S 42 元到期时间 T 0.5 年期权看涨期权步数 n 500连续股息率 δ 0无风险利率 r 10%波动率 σ 0.2行权方式欧式树的取法 Cox-Ross-Rubinstein：u = e^{σ√h}，d = 1/u其余用默认值
项标准答案平台算出
Black-Scholes 价格（欧式，参考）bs_price 4.7594224 4.7594224
美式看跌期权的价格（5 步）price 4.7593421 4.7593421
允许误差 1×10⁻⁸
第 5 条
平台算出的数对得上
独立计算：500 步 Jarrow-Rudd 树（u, d = e^{(r−σ²/2)h ± σ√h}，q = 0）的欧式价格用二项分布的概率直接求和
参数行权价 K 40 元标的现价 S 42 元到期时间 T 0.5 年期权看涨期权步数 n 500连续股息率 δ 0无风险利率 r 10%波动率 σ 0.2行权方式欧式树的取法 Jarrow-Rudd（等概率树）：u, d = e^{(r−q−σ²/2)h ± σ√h}其余用默认值
项标准答案平台算出
美式看跌期权的价格（5 步）price 4.7585775 4.7585775
允许误差 1×10⁻⁸

项	标准答案	平台算出
复制组合：第一步持有股票 Δ（股）delta0	0.25	0.25
美式看跌期权的价格（5 步）price	0.6329951	0.6329951
风险中性概率 qq	0.6522727	0.65227267

项	标准答案	平台算出
同样的树上欧式期权的价格bs_or_european	4.1926543	4.1926543
美式看跌期权的价格（5 步）price	5.0896325	5.0896325

项	标准答案	这次算出
美式看跌期权的价格（5 步）price	4.4884585	4.4884585

项	标准答案	平台算出
Black-Scholes 价格（欧式，参考）bs_price	4.7594224	4.7594224
美式看跌期权的价格（5 步）price	4.7593421	4.7593421

项	标准答案	平台算出
美式看跌期权的价格（5 步）price	4.7585775	4.7585775

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：13 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 19 行945 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.derivatives import binomial_tree34result = binomial_tree.binomial_tree(5    kind="put",6    style="american",7    tree="crr",8    S=50,9    K=50,10    T=0.4166666666666667,11    r=0.1,12    q=0,13    sigma=0.4,14    n=5,15    u=1.2,16    d=0.8,17    mu=0.15,18)19print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Hull：Options, Futures, and Other Derivatives第 13 章二叉树；第 21 章数值方法
IFoA CM2 课程二叉树模型、状态价格平减因子
McDonald：Derivatives Markets第 10、11 章二叉树

覆盖的考试公式

DER-015单期二叉树：复制组合与风险中性概率FAMCM2
DER-016二叉树校准与状态价格平减因子CM2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

CRR、Jarrow-Rudd、远期树或自己给的 u、d。欧式和美式的看涨、看跌期权，连续股息率。给出风险中性概率、第一步的复制组合（Δ 股股票加 B 元债券）、小树的每个节点、到期的状态价格和平减因子，以及步数增加时收敛到 Black-Scholes 的曲线。

说明和限制

风险中性概率 q 要在 0 和 1 之间（d < e^{(r−δ)h} < u），否则有套利。这时改用波动率相同的远期树，并在说明里写出来。
CRR 树的价格随步数奇偶来回摆动，步数增大时收敛到 Black-Scholes；Jarrow-Rudd 树和远期树摆动小一些。
状态价格平减因子 A 用真实世界的概率 p = (e^{μh} − d)/(u − d) 算：E_P[A·V_T] 等于期权价格。p 不在 0 和 1 之间时不算。
步数不超过 6 时列出每个节点；美式期权标出应当提前行权的节点。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

衍生品与资产模型，还有 14 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“用二叉树算期权的价格：每一步涨跌多少、风险中性概率是多少、怎样用股票和债券复制它？美式看跌期权什么时候应该提前行权？”