向量自回归 VAR：估计、平稳条件和预测 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

用法

数据

演示数据：随机种子

0214,748.36 万

滞后阶数 p

14

先做几次差分

01

预测几期

140

当前选项用不到的 5 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

演示数据，不是真实数据

演示数据，不是真实数据：VAR(1) A = [[0.5, 0.2], [−0.1, 0.6]]，c = (1, 0.5)，Σ = [[1, 0.3], [0.3, 0.5]]，模拟 200 期，种子 20261113

输出

用时 908 毫秒 · 11/14 22:25 运行

滞后阶数 p: 1
平稳: 是
特征值的最大模: 0.605459
序列 1的平稳均值: 2.16656
序列 2的平稳均值: 0.548619
残差的相关系数: 0.390719

两个序列和 VAR 的预测

序列 1
序列 2
序列 1的预测
序列 2的预测

纵轴：数值

VAR 的系数（每列是一个方程）coef5 行 · 3 列

结果表 VAR 的系数（每列是一个方程）
项	序列 1的方程	序列 2的方程
常数 c	0.851426	0.433519
序列 1（滞后 1）	0.584112	-0.101801
序列 2（滞后 1）	0.0904449	0.611824
Σ_u 的第 1 列	1.06593	0.279555
Σ_u 的第 2 列	0.279555	0.480261

伴随矩阵的特征值eigen2 行 · 3 列

结果表伴随矩阵的特征值
实部	虚部	模
0.597968	0.0949496	0.605459
0.597968	-0.0949496	0.605459

预测和标准误forecast8 行 · 5 列

结果表预测和标准误
时间	序列 1的预测	序列 2的预测	序列 1的标准误	序列 2的标准误
T+1	3.08378	0.109668	1.03244	0.693009
T+2	2.66262	0.186684	1.20958	0.797659
T+3	2.42358	0.276679	1.26738	0.831403
T+4	2.29209	0.356075	1.28693	0.844117
T+5	2.22247	0.418037	1.29347	0.849378
T+6	2.1874	0.463034	1.29559	0.851658
T+7	2.17099	0.494134	1.29627	0.852655
T+8	2.16422	0.514832	1.29648	0.853087

Granger 因果检验granger2 行 · 5 列

结果表 Granger 因果检验
检验（前者是否帮助预测后者）	F 统计量	分子自由度	分母自由度	p 值
序列 2 → 序列 1	0.98724	1	196	0.321643
序列 1 → 序列 2	6.46516	1	196	0.0117735

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
闭式解（手算）：A 是对角阵，两个独立的 AR(1)，特征值 0.5、0.8，平稳方差 1/(1 − 0.5²)、1/(1 − 0.8²)
参数VAR(1) 的系数矩阵 A 4 个数扰动的协方差 Σ 4 个数用法给定系数矩阵，算平稳条件和矩其余用默认值
项标准答案平台算出
特征值的最大模max_mod 0.8 0.8
c1表 gamma0 · 第 1 行 1.3333333 1.3333333
c2表 gamma0 · 第 1 行 0 0
c2表 gamma0 · 第 2 行 2.7777778 2.7777778
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|
第 2 条
平台算出的数对得上
手算：迹 0.9，行列式 0.2 − 0.02 = 0.18，特征值 (0.9 ± √(0.81 − 0.72))/2 = 0.6、0.3
参数VAR(1) 的系数矩阵 A 4 个数扰动的协方差 Σ 4 个数用法给定系数矩阵，算平稳条件和矩其余用默认值
项标准答案平台算出
平稳stationary 是是
模表 eigen · 第 1 行 0.6 0.6
模表 eigen · 第 2 行 0.3 0.3
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
特征值的最大模max_mod	0.8	0.8
c1表 gamma0 · 第 1 行	1.3333333	1.3333333
c2表 gamma0 · 第 1 行	0	0
c2表 gamma0 · 第 2 行	2.7777778	2.7777778

项	标准答案	平台算出
平稳stationary	是	是
模表 eigen · 第 1 行	0.6	0.6
模表 eigen · 第 2 行	0.3	0.3

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：11 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 17 行908 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.time_series import var34result = var.var_model(5    mode="fit",6    source="demo",7    age="60",8    x=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8],9    y=[2.6, 2.9, 3.6, 3.9, 4.6, 4.9, 5.6, 5.9],10    seed=20261113,11    p=1,12    diff=0,13    h=8,14    A=[0.5, 0.2, 0.1, 0.4],15    Sigma=[1, 0, 0, 1],16)17print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

IFoA CS2 核心读物时间序列：多元时间序列和向量自回归
Lütkepohl：New Introduction to Multiple Time Series Analysis第 2–3 章

覆盖的考试公式

TSA-018向量自回归 VARCS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

逐个方程做最小二乘估计 VAR(p)：Y_t = c + A_1Y_{t−1} + … + A_pY_{t−p} + e_t；伴随矩阵的特征值全在单位圆内时平稳，平稳均值 μ = (I − ΣA_i)⁻¹c；多步预测和标准误（MA(∞) 表示）；Granger 因果的 F 检验。也可以只给系数矩阵 A 和扰动协方差 Σ，算特征值、平稳均值和平稳协方差。

说明和限制

估计和 statsmodels 的 VAR(...).fit(p, trend='c') 相同（逐个方程最小二乘，Σ_u 除以 T − kp − 1）。
死亡率只有 18 年，VAR(1) 有 6 个系数，估计不确定性很大；默认先不差分时两个序列几乎都有趋势，特征值接近 1，应改成差分 1 次或看 time_series.cointegration。
Granger 检验：在一个方程里去掉另一个序列的全部滞后，比较残差平方和的 F 检验（单个方程，分母自由度 T − p − kp − 1）。statsmodels 的 test_causality 的 F 统计量相同，但用整个系统的分母自由度，p 值略有不同。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

surveillance-age-mortality

开源库和版本

statsmodels0.15.0BSD-3-Clause费率厘定：广义线性模型
scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

时间序列，还有 12 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“两个相互影响的序列（例如男女死亡率、两条业务线的赔付率），用 VAR 模型估计它们怎样互相影响？模型平稳吗（特征值都在单位圆内）？往后几期的预测是多少？一个序列能帮助预测另一个吗？”