趋势回归：趋势、季节项和断点 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

数据

死亡率：年龄组

死亡率：性别

男女合计男女

趋势

季节

断点

没有断点断点：水平跳跃断点：水平和斜率都变

断点的时点

死亡率填年份，其他填第几期

12,100

预测几期

160

预测区间的置信水平

0.50.995

当前选项用不到的 4 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

真实数据

真实数据：死因监测男女合计、城乡合计、60–64 岁死亡率的自然对数，2004—2021 年逐年（18 个数）。出处：中国疾病预防控制中心慢性非传染性疾病预防控制中心、国家卫生健康委统计信息中心《中国死因监测数据集》2004—2021 年各册第 2、3 章。按慢病中心网站公开的原书表格整理，未做漏报调整。2013 年起监测点从 161 个扩到 605 个，前后两段不完全可比。

surveillance-age-mortality

输出

用时 988 毫秒 · 11/14 22:24 运行

趋势（每期）β_1: -0.0320163
R²: 0.784395
残差标准差 s: 0.0688752
断点的 Chow F 统计量: 3.07399
Chow 检验的 p 值: 0.0999593
第 1 期的预测（2022）: -4.81836

ln 死亡率和趋势回归

ln 死亡率
拟合
预测
95% 下限
95% 上限

纵轴：ln 死亡率

断点的 Chow 检验chow1 行 · 6 列

结果表断点的 Chow 检验
没有断点的残差平方和	有断点的残差平方和	多出的参数 r	残差自由度 n − k	F 统计量	p 值
0.0857392	0.0711568	1	15	3.07399	0.0999593

回归系数coef3 行 · 5 列

结果表回归系数
项	系数	标准误	t 值	p 值
截距 β_0	-4.32444	0.0389278	-111.089	2.75×10⁻²³
趋势 β_1（每期）	-0.0320163	0.00628741	-5.09213	0.000132546
断点的水平跳跃 δ_0（第 10 期起）	0.114384	0.0652398	1.75328	0.0999593

预测forecast5 行 · 5 列

结果表预测
时间	预测	预测标准误	95.0% 下限	95.0% 上限
2022	-4.81836	0.0791149	-4.98699	-4.64973
2023	-4.85038	0.0818169	-5.02477	-4.67599
2024	-4.8824	0.0848995	-5.06336	-4.70144
2025	-4.91441	0.0883227	-5.10267	-4.72616
2026	-4.94643	0.0920485	-5.14263	-4.75023

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
构造：y_t = 5 + 2sin(2πt/12) + 3cos(2πt/12)，t = 1..24 没有扰动，回归应准确还原 β_0 = 5、斜率 0、β_11 = 2、β_21 = 3
参数断点没有断点三角函数的对数 m_h 1季节的周期 m 12季节三角函数（m_h 对 sin、cos）数据自己输入序列序列 24 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
系数表 coef · 第 1 行 5 5
系数表 coef · 第 2 行 0 3.55179e-17
系数表 coef · 第 3 行 2 2
系数表 coef · 第 4 行 3 3
允许误差 1×10⁻⁹
第 2 条
平台算出的数对得上
构造：t < 5 时 y = t，t ≥ 5 时 y = t + 5，有水平跳跃的回归准确拟合：斜率 1、跳跃 5，第 9 期预测 14
参数断点的时点 5断点断点：水平跳跃预测几期 1数据自己输入序列序列 8 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
系数表 coef · 第 2 行 1 1
系数表 coef · 第 3 行 5 5
预测表 forecast · 第 1 行 14 14
允许误差 1×10⁻⁹

项	标准答案	平台算出
系数表 coef · 第 1 行	5	5
系数表 coef · 第 2 行	0	3.55179e-17
系数表 coef · 第 3 行	2	2
系数表 coef · 第 4 行	3	3

项	标准答案	平台算出
系数表 coef · 第 2 行	1	1
系数表 coef · 第 3 行	5	5
预测表 forecast · 第 1 行	14	14

第 3 条

平台算出的数对得上

独立计算（numpy 最小二乘，不经过方法的代码）：只有线性趋势 SSE_0 = 1.251190，加第 5 期起的水平跳跃 SSE_1 = 0.151，跳跃 δ_0 = 1.52；F = (SSE_0 − SSE_1)/1 ÷ (SSE_1/5) = 36.4301

参数断点的时点 5断点断点：水平跳跃数据自己输入序列序列 8 个数其余用默认值

项	标准答案	平台算出
断点的 Chow F 统计量chow_F	36.430148	36.430148
没有断点的残差平方和表 chow · 第 1 行	1.2511905	1.2511905
有断点的残差平方和表 chow · 第 1 行	0.151	0.151
系数表 coef · 第 3 行	1.52	1.52

允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：13 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 19 行988 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.time_series import decompose34result = decompose.trend_regression(5    source="mortality",6    age="60",7    sex="合计",8    x=[1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13],9    seed=20261113,10    trend="linear",11    season="none",12    period=12,13    harmonics=1,14    brk="level",15    break_at=2013,16    h=5,17    level=0.95,18)19print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Frees：Regression Modeling with Actuarial and Financial Applications第 7 章趋势模型、9.4 季节模型
Chow (1960) Tests of equality between sets of coefficients

覆盖的考试公式

TSA-014季节模型（三角函数与季节 AR）SRMMAS-II

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

对时间做最小二乘回归：线性或二次趋势、季节虚拟变量或 m_h 对三角函数（f_j = j/m）、在给定时点的水平跳跃或斜率变化；Chow 型 F 检验比较有无断点的残差平方和；给出预测和预测区间。默认用 60–64 岁死亡率，在 2013 年（监测系统扩大）加断点。

说明和限制

最小二乘回归（numpy），标准误按同方差、独立的扰动计算；时间序列的扰动常有自相关，这时标准误偏小，可以把残差交给 time_series.sample_acf 检查。
断点 τ：死亡率按年份填，其他序列按第几期填（从 1 开始）。Chow 检验比较有断点和没有断点（其他项相同）的两个回归。
三角函数的频率 f_j = j/m；m_h 不超过 m/2。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

surveillance-age-mortality

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

时间序列，还有 12 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“一列数据的长期趋势是多少？季节（用虚拟变量或三角函数）有多大？在某个时点前后水平或斜率有没有变（断点检验）？往后几期按这个回归预测是多少？”