协整：Engle-Granger 检验和误差修正模型 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

数据

演示数据：随机种子

0214,748.36 万

残差 ADF 的滞后阶数

按 AIC 选固定

显著性水平

0.010.1

当前选项用不到的 4 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

演示数据，不是真实数据

演示数据，不是真实数据：x 是随机游走（起点 10），y = 2 + 0.5x + u，u 是 AR(1)（系数 0.6，扰动标准差 0.5），200 期，种子 20261113

输出

用时 1.3 秒 · 11/14 22:24 运行

协整回归的斜率 b̂: 0.494595
协整回归的截距 â: 2.06739
残差的 ADF 统计量: -5.69471
Engle-Granger 的 p 值: 0.00000717871
在 0.05 水平协整: 是
误差修正的调整速度 λ: -0.466918
偏离的半衰期: 1.10184期

两个序列

x
y

纵轴：数值

误差修正模型ecm3 行 · 4 列

结果表误差修正模型
项	系数	标准误	t 值
常数 γ_0	-0.00154691	0.0338146	-0.0457469
调整速度 λ（û_{t−1} 的系数）	-0.466918	0.0606884	-7.69369
δ（Δx_t 的系数）	0.488298	0.033769	14.4599

Engle-Granger 两步法steps5 行 · 2 列

结果表 Engle-Granger 两步法
步骤	结果
第 1 步：协整回归 y = a + b·x	a = 2.06739，b = 0.494595
第 2 步：残差的 ADF 统计量（不带常数）	-5.6947
Engle-Granger 的 p 值（MacKinnon）	7.179e-06
临界值 1% / 5% / 10%	-3.952 / -3.367 / -3.066
结论	拒绝“没有协整”：两个序列协整

两个序列各自的单位根检验unit_roots2 行 · 6 列

结果表两个序列各自的单位根检验
序列	水平的 ADF	p 值	差分的 ADF	p 值	判断
x	-1.46694	0.549797	-12.3484	5.9×10⁻²³	像 I(1)
y	-1.51214	0.527497	-9.91903	3.03×10⁻¹⁷	像 I(1)

开源库statsmodels0.15.0· BSD-3-Clause numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

1 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
手算：x = 1..8，y = 2 + 0.5x ± 0.1 交替；Σ(x − x̄)e = 0.1(1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8) = −0.4，Σ(x − x̄)² = 42，b̂ = 0.5 − 0.4/42，â = ȳ − b̂x̄
参数残差 ADF 的滞后阶数固定固定的滞后阶数 0数据自己输入两个序列序列 x 8 个数序列 y 8 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
协整回归的截距 âa 2.0428571 2.0428571
协整回归的斜率 b̂b 0.49047619 0.49047619
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
协整回归的截距 âa	2.0428571	2.0428571
协整回归的斜率 b̂b	0.49047619	0.49047619

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：8 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 14 行1.3 秒

1import json2from wi_actuarial.methods.time_series import var34result = var.cointegration(5    source="demo",6    age="60",7    x=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8],8    y=[2.6, 2.9, 3.6, 3.9, 4.6, 4.9, 5.6, 5.9],9    seed=20261113,10    autolag="aic",11    lags=0,12    alpha=0.05,13)14print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库statsmodels0.15.0· BSD-3-Clause numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Engle、Granger (1987) Co-integration and error correction
IFoA CS2 核心读物时间序列：协整
MacKinnon (2010) Critical values for cointegration tests

覆盖的考试公式

TSA-019协整CS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

Engle-Granger 两步法：先对 y_t = a + b·x_t 做最小二乘，再对残差做不带常数的 ADF 检验，用 MacKinnon 的协整临界值（statsmodels 的 coint）；同时给出两个序列各自的 ADF 检验，以及误差修正模型 Δy_t = γ_0 + λû_{t−1} + δΔx_t 的调整速度 λ。

说明和限制

残差的 ADF 不用普通 ADF 的临界值：残差是估计出来的，临界值更负。p 值用 statsmodels 的 coint（MacKinnon 2010，2 个变量）。
协整回归的标准误不能用普通 t 检验解释（伪回归问题）；系数本身是超一致的估计。
死亡率只有 18 年，检验的功效很低，结论只作参考。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

surveillance-age-mortality

开源库和版本

statsmodels0.15.0BSD-3-Clause费率厘定：广义线性模型
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

时间序列，还有 12 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“两个各自像随机游走的序列（例如男女死亡率、两种利率），它们的某个线性组合是平稳的吗（长期一起走）？长期关系的系数是多少？偏离以后回到长期关系有多快？”