指数平滑：简单、Holt、Holt-Winters 和双重指数平滑

参考

• Frees：Regression Modeling with Actuarial and Financial Applications9.2–9.3 指数平滑
• Hyndman、Athanasopoulos：Forecasting: Principles and Practice第 8 章 Exponential smoothing

覆盖的考试公式

• TSA-012移动平均与指数平滑（单、双、季节 Holt-Winters）SRMCS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

5 种指数平滑：简单（水平）、Holt（水平 + 趋势）、Holt-Winters 加法和乘法季节、Brown 双重指数平滑（SRM 用折扣因子 w 的写法）。平滑参数可以给定，也可以按一步预测误差的平方和最小估计；加法模型给预测区间（ETS 状态空间模型的方差公式）。

说明和限制

• 初始值：简单平滑 ℓ_0 = y_1；Holt ℓ_0 = y_1、b_0 = y_2 − y_1；Holt-Winters 用第 1 个周期的均值做水平、前两个周期均值之差除以 m 做趋势、第 1 个周期减去（或除以）水平做季节项；Brown 的 ŝ_0 = ŝ^(2)_0 = y_1。
• 季节项的更新用 y_t − ℓ_{t−1} − b_{t−1}（Hyndman 的写法，和 statsmodels 的 ExponentialSmoothing 相同；有的教材用 y_t − ℓ_t）。
• 按平方和估计时用 L-BFGS-B，参数限制在 [0.001, 0.999]，从 3 组起点取最好的。预测区间的方差 σ̂²[1 + Σc_j²]，σ̂² = 平方和/n；乘法季节和 Brown 不给区间。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

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开源库和版本

• scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
• numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算