AR(p) 模型的估计和区间预测

用 AR(p) 模型拟合一列数据，系数估计是多少（Yule-Walker、最小二乘或极大似然）？往后几期的预测和预测区间是多少？

SOA SRMCAS MAS-IIIFoA CS2

公式

\displaystyle \hat\beta_1=\frac{\sum_{t=2}^T(y_{t-1}-\bar y_-)(y_t-\bar y_+)}{\sum_{t=2}^T(y_{t-1}-\bar y_-)^2},\ \hat\beta_0=\bar y_+-\hat\beta_1\bar y_-,\ s^2=\frac{1}{T-3}\sum_{t=2}^T(e_t-\bar e)^2

\displaystyle \boldsymbol\rho_p=\mathbf R_p\boldsymbol\alpha\ (\text{Yule-Walker})

\displaystyle \hat y_{T+k}=\hat\mu+\hat\beta_1^k(y_T-\hat\mu)\pm t\,s\sqrt{\sum_{j=0}^{k-1}\hat\beta_1^{2j}}

对过的标准答案: 3 条
覆盖的考试公式: 3 个
参数: 10 个
开源库: 3 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

数据

演示数据：随机种子

0214,748.36 万

AR 的阶数 p

估计方法

先做几次差分

预测几期

140

预测区间的置信水平

0.50.995

当前选项用不到的 3 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

演示数据，不是真实数据

演示数据，不是真实数据：AR(2) 模型 x_t − 10 = 0.5(x_{t−1} − 10) + 0.3(x_{t−2} − 10) + w_t 用固定种子模拟的 240 个数（种子 20261113）

输出

用时 845 毫秒 · 11/14 22:42 运行

估计方法: 最小二乘（条件，SRM 的写法）
均值 μ̂: 9.92361
截距 β̂_0（= μ̂(1 − Σα̂)）: 2.51507
扰动的方差 s²: 0.98512
平稳: 是
第 1 期的预测: 8.50132
第 1 期预测的标准误: 0.992532
第 10 期的预测: 9.64054

演示序列和 AR(2) 预测

演示序列
预测
95% 下限
95% 上限

纵轴：演示序列

预测区间用t 分布（自由度 235）的分位数 1.9701。

AR 系数的估计coef2 行 · 4 列

结果表 AR 系数的估计
系数	估计	标准误	估计 ÷ 标准误
α_1（y_{t−1}）	0.363015	0.0602938	6.02077
α_2（y_{t−2}）	0.383542	0.0604318	6.34669

预测和预测区间forecast10 行 · 6 列

结果表预测和预测区间
第几期	时间	预测	标准误	95.0% 下限	95.0% 上限
1	T+1	8.50132	0.992532	6.54592	10.4567
2	T+2	8.56223	1.05591	6.48198	10.6425
3	T+3	8.8839	1.17326	6.57245	11.1954
4	T+4	9.02404	1.21714	6.62613	11.4219
5	T+5	9.19828	1.25693	6.722	11.6746
6	T+6	9.31528	1.27928	6.79496	11.8356
7	T+7	9.42458	1.29588	6.87155	11.9776
8	T+8	9.50914	1.30652	6.93515	12.0831
9	T+9	9.58175	1.31397	6.99309	12.1704
10	T+10	9.64054	1.31895	7.04207	12.239

残差的 Ljung-Box 检验ljung_box3 行 · 4 列

结果表残差的 Ljung-Box 检验
到第 m 阶	Q	p 值	自由度
4	3.3462	0.187665	2
8	4.96294	0.548575	6
12	8.56483	0.573839	10

开源库statsmodels0.15.0· BSD-3-Clause scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
手算（SRM 的 AR(1) 公式）：ȳ_− = 36/7，ȳ_+ = 41/7，Σ(y_{t−1} − ȳ_−)(y_t − ȳ_+) = 154/49，Σ(y_{t−1} − ȳ_−)² = 532/49，β̂_1 = 154/532，β̂_0 = ȳ_+ − β̂_1ȳ_−
参数估计方法最小二乘（条件，SRM 的写法）预测几期 2AR 的阶数 p 1数据自己输入序列序列 8 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
截距 β̂_0（= μ̂(1 − Σα̂)）intercept 4.3684211 4.3684211
估计表 coef · 第 1 行 0.28947368 0.28947368
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|
第 2 条
平台算出的数对得上
手算：x = 1..8，r_1 = 26.25/42，r_2 = 11.5/42；AR(2) 的 Yule-Walker 解 φ_1 = r_1(1 − r_2)/(1 − r_1²)，φ_2 = (r_2 − r_1²)/(1 − r_1²)
参数估计方法 Yule-Walker（矩估计）AR 的阶数 p 2数据自己输入序列序列 8 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
估计表 coef · 第 1 行 0.74481074 0.74481074
估计表 coef · 第 2 行 -0.19169719 -0.19169719
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|
第 3 条
平台算出的数对得上
手算（SRM 的 AR(1) 预测）：ŷ_{T+1} = β̂_0 + β̂_1×8；SSE = Σ(y_t − ȳ_+)² − (Σ(y_{t−1} − ȳ_−)(y_t − ȳ_+))²/Σ(y_{t−1} − ȳ_−)² = (532² − 154²)/(49×532)，s² = SSE/(T − 3)，T = 8；第 2 期的标准误 s√(1 + β̂_1²)
参数估计方法最小二乘（条件，SRM 的写法）预测几期 2预测区间的置信水平 0.95AR 的阶数 p 1数据自己输入序列序列 8 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
扰动的方差 s²s2 1.9894737 1.9894737
预测表 forecast · 第 1 行 6.6842105 6.6842105
标准误表 forecast · 第 2 行 1.4683942 1.4683942
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
截距 β̂_0（= μ̂(1 − Σα̂)）intercept	4.3684211	4.3684211
估计表 coef · 第 1 行	0.28947368	0.28947368

项	标准答案	平台算出
估计表 coef · 第 1 行	0.74481074	0.74481074
估计表 coef · 第 2 行	-0.19169719	-0.19169719

项	标准答案	平台算出
扰动的方差 s²s2	1.9894737	1.9894737
预测表 forecast · 第 1 行	6.6842105	6.6842105
标准误表 forecast · 第 2 行	1.4683942	1.4683942

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：10 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 16 行845 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.time_series import ar_fit34result = ar_fit.ar_fit(5    source="demo",6    age="60",7    sex="合计",8    x=[3, 5, 4, 7, 5, 8, 6, 6, 9, 7],9    seed=20261113,10    p=2,11    est="ols",12    diff=0,13    h=10,14    level=0.95,15)16print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库statsmodels0.15.0· BSD-3-Clause scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Frees：Regression Modeling with Actuarial and Financial Applications第 8 章 8.2–8.4 AR(1) 的估计和预测
Brockwell、Davis：Introduction to Time Series and Forecasting5.1 Yule-Walker 估计
IFoA CS2 核心读物时间序列：模型的拟合

覆盖的考试公式

TSA-004AR(p) 模型、平稳条件与 AR(1) 矩SRMMAS-IICS2
TSA-005AR(1) 的最小二乘估计与区间预测SRM
TSA-010Yule-Walker 方程与偏自相关MAS-IICS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

三种估计：Yule-Walker（样本自相关解 Yule-Walker 方程）、条件最小二乘（SRM 的 AR(1) 公式：β̂_1 = Σ(y_{t−1} − ȳ_−)(y_t − ȳ_+)/Σ(y_{t−1} − ȳ_−)²，s² 除以 T − 3）、精确高斯似然的极大似然。预测用递推，预测误差的方差 s²Σψ_j²；最小二乘用 t 分布，其余用正态分布。

说明和限制

Yule-Walker 用除以 n 的样本自协方差，和 statsmodels 的 yule_walker(method='mle') 相同；最小二乘和 statsmodels 的 AutoReg 系数相同（s² 的自由度按 SRM 取 T − p − (p + 1)）；极大似然用 statsmodels 的 ARIMA(p, 0, 0)（状态空间的精确似然）。
预测误差只考虑扰动项，不考虑参数估计的误差。差分以后的预测会累加回原来的水平，区间按 ψ 权重的累加计算。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

surveillance-age-mortality

开源库和版本

statsmodels0.15.0BSD-3-Clause费率厘定：广义线性模型
scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

时间序列，还有 12 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“用 AR(p) 模型拟合一列数据，系数估计是多少（Yule-Walker、最小二乘或极大似然）？往后几期的预测和预测区间是多少？残差还相关吗？”