ARIMA 和季节 SARIMA：估计、诊断和预测

参考

• IFoA CS2 核心读物时间序列：Box-Jenkins 方法、ARIMA 的识别、估计、诊断和预测
• Box、Jenkins、Reinsel、Ljung：Time Series Analysis: Forecasting and Control第 5、9 章
• Hyndman、Athanasopoulos：Forecasting: Principles and Practice第 9 章 ARIMA 模型

覆盖的考试公式

• TSA-008ARIMA 与季节 SARIMASRMMAS-IICS2
• TSA-009ARMA 多步预测与预测标准误MAS-IICS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

statsmodels 的状态空间精确似然估计 ARIMA(p, d, q)×(P, D, Q)_s，可加常数或漂移；可以按 AICc 在小范围内选阶数。给出参数和标准误、对数似然、AIC、AICc、BIC，残差的 Ljung-Box 检验（自由度扣掉 p + q + P + Q），多步预测和预测区间；预测标准误另用 ψ 权重 σ̂√(Σψ_j²) 算一遍对照。默认是 60–64 岁死亡率（ln）的带漂移随机游走，即 Lee-Carter 模型里 k_t 的常用模型。

说明和限制

• 估计用 statsmodels 的 ARIMA（状态空间的精确高斯似然）。d + D = 1 时“漂移”是差分后序列的均值（statsmodels 的 trend='t'）；d + D ≥ 2 时不加常数。
• 预测区间只考虑扰动项，不考虑参数估计的误差。ψ 权重由 φ(B)Φ(B^s)(1 − B)^d(1 − B^s)^D 和 θ(B)Θ(B^s) 展开得到；序列很短或有 MA 项时，状态空间的标准误和 ψ 权重的结果会略有不同（前者用了有限样本的初始化）。
• 死亡率只有 18 年：参数多的模型（p + q ≥ 2）估计很不稳定。2013 年监测系统扩大后死亡水平有跳跃，可以对照 time_series.trend_regression 的断点模型。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

surveillance-age-mortality

开源库和版本

• statsmodels0.15.0BSD-3-Clause费率厘定：广义线性模型
• scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
• numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算