ARCH 和 GARCH(1,1) 波动率模型

参考

• Tsay：Analysis of Financial Time Series第 3 章 3.4 ARCH、3.5 GARCH 模型
• IFoA CS2 核心读物时间序列：ARCH 模型
• Bollerslev (1986) Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity

覆盖的考试公式

• TSA-016ARCH 与 GARCH 波动率SRMCS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

自己写的高斯条件似然，用无约束变换（ω = e^z，α、β 用 softmax 保证非负且和小于 1）做 BFGS 极大似然，数值 Hessian 给标准误；条件波动率的路径、无条件方差 ω/(1 − Σα − β)、持续性和半衰期、波动率的多步预测；用收益率平方的 Ljung-Box 检验 ARCH 效应。

说明和限制

• 条件方差的初值 σ²_1 和样本前的 ε² 都取样本的 mean(ε²)（backcast 的简单做法；arch 包用指数加权的 backcast，结果会有很小的差别）。
• 估计从 3 组起点出发，取似然最大的。标准误由原参数上的数值 Hessian 求逆得到，参数在边界附近（例如 α ≈ 0）时不可靠。
• 平台没有装 arch 包；估计的正确性另用 scipy 的 SLSQP 在原参数上带约束优化核对（见测试）。

数据

固定种子模拟的 GARCH(1,1) 收益率（演示数据，不是真实数据），或调用时给的收益率

开源库和版本

• scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
• numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算