ARMA 模型的理论自相关、偏自相关和平稳条件

参考

• IFoA CS2 核心读物时间序列：AR、MA、ARMA 的自相关、平稳和可逆
• Brockwell、Davis：Introduction to Time Series and Forecasting3.2 ARMA 的自协方差、3.2.3 偏自相关
• Cryer、Chan：Time Series Analysis with Applications in R第 4 章；3.2 节样本均值的方差

覆盖的考试公式

• TSA-004AR(p) 模型、平稳条件与 AR(1) 矩SRMMAS-IICS2
• TSA-006MA(q) 自协方差与可逆条件MAS-IICS2
• TSA-007ARMA(1,1) 的方差与自相关MAS-IICS2
• TSA-010Yule-Walker 方程与偏自相关MAS-IICS2
• TSA-017自相关序列样本均值的方差MAS-II

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

AR 多项式的根全在单位圆外时平稳，MA 多项式的根全在单位圆外时可逆（AR(2)、MA(2) 另列三角形条件）。理论自协方差解线性方程得到（不截断），自相关、用 Durbin-Levinson 递推的偏自相关（AR(p) 在 p 阶以后截尾）、ψ 权重；以及自相关序列样本均值的方差 σ²/n·[1 + 2Σ(1 − k/n)ρ_k]。

说明和限制

• 记号和 IFoA CS2 一致：x_t = α_1x_{t−1} + … + w_t + β_1w_{t−1} + …，MA 部分是加号（statsmodels 的 arma_acf 用滞后多项式 [1, −α] 和 [1, β]）。
• 不平稳时没有自协方差，只列根和条件。根的模接近 1 时自相关衰减很慢。
• 偏自相关由理论自相关用 Durbin-Levinson 递推，等于依次解 k 阶 Yule-Walker 方程的最后一个系数。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

• numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算