随机微分方程的模拟：Euler-Maruyama、Milstein 和精确解

参考

• Kloeden、Platen：Numerical Solution of Stochastic Differential Equations第 9–10 章 Euler 和 Milstein 格式的收敛阶
• IFoA CM2 核心读物Itô 公式、几何布朗运动、Vasicek 模型

这个方法算什么

由 Itô 公式得到几何布朗运动的精确解 S_T = S_0 exp((μ − σ²/2)T + σW_T)，OU 过程的均值 θ + (x_0 − θ)e^{−κT}、方差 σ²(1 − e^{−2κT})/(2κ)、平稳分布 N(θ, σ²/2κ)。用同一组布朗增量比较 Euler-Maruyama、Milstein 和精确解：强误差 E|X̂_T − X_T| 和弱误差 |E X̂_T − E X_T| 随步长的变化，并估计收敛阶。

说明和限制

• 全部格式用同一组最细网格（2^L 步）的布朗增量，粗网格的增量是细网格增量的和，所以强误差可以逐条路径比较。
• GBM 的“精确解”是 Itô 公式给出的闭式解。OU 过程用精确的转移分布逐步更新时需要额外的随机数，和同一组增量不完全对应；所以 OU 的强误差以最细网格的精确离散（e^{−κΔt} 递推）为参照，弱误差用解析的均值。
• 收敛阶用误差对步长的对数回归斜率估计：Euler-Maruyama 的强阶约 0.5、弱阶约 1；Milstein 的强阶约 1（OU 的 σ 不变，Milstein 和 EM 相同）。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

• numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算