马尔可夫跳跃过程：生成元、Kolmogorov 方程和停留时间

参考

• IFoA CS2 核心读物马尔可夫跳跃过程：生成元、Kolmogorov 方程、停留时间、积分形式的方程
• Ross：Introduction to Probability Models第 6 章 Continuous-Time Markov Chains

覆盖的考试公式

• STP-006马尔可夫跳跃过程：Kolmogorov 前向/后向方程MAS-ICS2
• STP-007停留时间分布与跳跃概率MAS-ICS2
• STP-008Kolmogorov 方程积分形式CS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

由转移强度建生成元 A，转移概率 P(t) = e^{At}，另用 4 阶 Runge-Kutta 分别解前向和后向方程、用积分形式的方程数值积分核对；停留时间的生存函数和离开时去各状态的概率（跳跃链）；不可约时平稳分布用 πA = 0 和跳跃链两种算法；有吸收状态时算平均吸收时间。强度可以按 e^{gu} 随时间变化（各强度同比例），这时 P(s, s+t) = exp(A∫e^{gu}du)。

说明和限制

• 时齐时 P(t) = expm(At)（scipy.linalg.expm）。g ≠ 0 时所有强度按同一个因子 e^{gu} 变化，A(u) 两两可交换，P(s, s+t) = expm(A·∫_s^{s+t}e^{gu}du) 是精确解；不同强度随时间变化不同的模型见 multistate.kolmogorov。
• 前向和后向方程各用 400 步以上（强度大时加密，最多 20000 步）的 4 阶 Runge-Kutta 解，积分形式的方程用 scipy.integrate.quad_vec 对 w 积分，结果里写出它们和矩阵指数的最大差。
• 平稳分布只对不可约的链算：解 πA = 0，以及用跳跃链的平稳分布 ν 换算 π_j ∝ ν_j/λ_j。到吸收的平均时间 m 解 −A_T m = 1（只在时齐时算）。
• 寿险的多状态模型（残疾收入、重疾）见 multistate 方法族；离散时间的链见 stochastic.markov_chain；从数据估计强度见 stochastic.mjp_estimation。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

• scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
• numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算