泊松过程：增量、等待时间和到达时间的条件分布

理赔按（可能随时间变化的）强度发生，一段时间内发生 n 次的概率是多少？第 n 次理赔平均什么时候发生？

CAS MAS-IIFoA CM2IFoA CS1IFoA CS2按输入的参数计算

公式

\displaystyle \Pr\big(N_t-N_s=n\big)=\frac{\Lambda(s,t)^ne^{-\Lambda(s,t)}}{n!},\ \ \Lambda(s,t)=\int_s^t\lambda(r)\,dr

\displaystyle \Pr(T_n\le t)=\Pr(N_t\ge n),\ \ \mathrm E[T_n]=\int_0^\infty\Pr(N_u<n)\,du

\displaystyle \mathrm E[T_{(j)}\mid N_t=k]\overset{\text{齐次}}=\frac{jt}{k+1}

\displaystyle X_t=\sum_{i=1}^{N_t}Y_i:\ \mathrm E=\Lambda\mathrm E[Y],\ \mathrm{Var}=\Lambda\mathrm E[Y^2]

对过的标准答案: 6 条
覆盖的考试公式: 2 个
参数: 11 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

强度的形式

强度参数 a次/年

齐次时就是 λ

0.001 次/年1,000 次/年

区间的起点 s年

0 年100 年

区间的终点 t年

也是条件分布的时间长度

0.01 年200 年

关心的次数 n次

0 次1,000 次

条件：[0, t] 里一共发生了 k 次次

1 次50 次

条件：第 j 次到达

150

每次赔款的均值元

0 元100,000 万元

每次赔款的变异系数

伽马分布；1 是指数分布，0 是固定金额

010

当前选项用不到的 2 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：λ = 2

输出

用时 825 毫秒 · 11/14 22:24 运行

Λ(s, t)：区间 (0, 3] 的期望次数: 6次
P(N = 5): 0.160623
P(N ≥ 5): 0.714943
次数的方差: 6
第 5 次到达的期望时间 E[T_5]: 2.5年
P(T_5 ≤ 3): 0.714943
给定 N(3) = 4，第 2 次的期望时间: 1.2年
累计赔款的均值: 6,000元
累计赔款的方差: 1,200 万元²
累计赔款的偏度: 0.866025

区间 (0, 3] 的次数分布

纵轴：概率

给定 N(t) = k 时第 j 次到达时间的条件期望cond4 行 · 3 列

结果表给定 N(t) = k 时第 j 次到达时间的条件期望
第 j 次	条件期望 E[T_(j) \| N(t) = k]	齐次时的 jt/(k+1)
1	0.6	0.6
2	1.2	1.2
3	1.8	1.8
4	2.4	2.4

区间内的次数的分布pmf26 行 · 3 列

结果表区间内的次数的分布
次数 n	P(N = n)	P(N ≤ n)
0	0.00247875	0.00247875
1	0.0148725	0.0173513
2	0.0446175	0.0619688
3	0.0892351	0.151204
4	0.133853	0.285057
5	0.160623	0.44568
6	0.160623	0.606303
7	0.137677	0.74398
8	0.103258	0.847237
9	0.0688385	0.916076
10	0.0413031	0.957379
11	0.022529	0.979908
12	0.0112645	0.991173
13	0.00519899	0.996372
14	0.00222814	0.9986
15	0.000891256	0.999491
16	0.000334221	0.999825
17	0.00011796	0.999943
18	0.00003932	0.999982
19	0.00001242	0.999995
20	0.000003725	0.999999
21	0.000001064	1
22	2.9×10⁻⁷	1
23	7.57×10⁻⁸	1
24	1.89×10⁻⁸	1
25	4.54×10⁻⁹	1

第 n 次到达的时间waiting5 行 · 2 列

结果表第 n 次到达的时间
第 n 次	在 t = 3 之前发生的概率 P(T_n ≤ t)
1	0.997521
2	0.982649
3	0.938031
4	0.848796
5	0.714943

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

6 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
手算：λ = 2，区间长 2，Λ = 4，P(N = 3) = e^{−4}4³/3!
参数强度参数 a 2 次/年强度的形式齐次：λ(t) = a关心的次数 n 3 次区间的起点 s 1 年区间的终点 t 3 年其余用默认值
项标准答案平台算出
Λ(s, t)：区间 (0, 3] 的期望次数Lambda 4 4
P(N = 5)p_n 0.19536681 0.19536681
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|
第 2 条
平台算出的数对得上
手算：Λ(3) = 1×3 + 2×3²/2 = 12，P(N = 0) = e^{−12}（同 simulation.poisson_process 的测试）
参数强度参数 a 1 次/年线性强度的斜率 b 2强度的形式线性：λ(t) = a + bt关心的次数 n 0 次区间的起点 s 0 年区间的终点 t 3 年其余用默认值
项标准答案平台算出
Λ(s, t)：区间 (0, 3] 的期望次数Lambda 12 12
P(N = 5)p_n 6.14421e-6 6.14421e-6
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|
第 3 条
平台算出的数对得上
手算：齐次过程给定 N(10) = 4，到达时间是 4 个 U(0, 10) 的顺序统计量，E[T_(2)] = 2×10/5 = 4
参数强度参数 a 1 次/年条件：第 j 次到达 2条件：[0, t] 里一共发生了 k 次 4 次强度的形式齐次：λ(t) = a区间的起点 s 0 年区间的终点 t 10 年其余用默认值
项标准答案平台算出
给定 N(3) = 4，第 2 次的期望时间cond_mean 4 4
允许误差 1×10⁻⁸ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 4 条
平台算出的数对得上
手算：Λ(u) = u²，给定 N(1) = 1 时到达时间的分布函数 u²，E = ∫_0^1 (1 − u²)du = 2/3
参数强度参数 a 1 次/年幂函数的指数 c 2条件：第 j 次到达 1条件：[0, t] 里一共发生了 k 次 1 次强度的形式幂函数（Weibull 型）：Λ(t) = a·t^c区间的起点 s 0 年区间的终点 t 1 年其余用默认值
项标准答案平台算出
给定 N(3) = 4，第 2 次的期望时间cond_mean 0.66666667 0.66666667
允许误差 1×10⁻⁸ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 5 条
平台算出的数对得上
手算：T_3 ~ Gamma(3, 1/2)，E = 3/2；P(T_3 ≤ 1) = P(N(1) ≥ 3) = 1 − e^{−2}(1 + 2 + 2)
参数强度参数 a 2 次/年强度的形式齐次：λ(t) = a关心的次数 n 3 次区间的起点 s 0 年区间的终点 t 1 年其余用默认值
项标准答案平台算出
第 5 次到达的期望时间 E[T_5]mean_Tn 1.5 1.5
P(T_5 ≤ 3)p_Tn_le_t 0.32332358 0.32332358
允许误差 1×10⁻⁸ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 6 条
平台算出的数对得上
手算：伽马赔款 E[Y²] = m²(1 + cv²) = 1.25×10⁶，E[Y³] = m³(1 + cv²)(1 + 2cv²)；Var(S) = 5×1.25×10⁶，偏度 = λE[Y³]/(λE[Y²])^{1.5}
参数强度参数 a 5 次/年强度的形式齐次：λ(t) = a区间的起点 s 0 年每次赔款的变异系数 0.5每次赔款的均值 1,000 元区间的终点 t 1 年其余用默认值
项标准答案平台算出
累计赔款的均值mean_S 5,000 5,000
累计赔款的偏度skew_S 0.6 0.6
累计赔款的方差var_S 6,250,000 6,250,000
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
Λ(s, t)：区间 (0, 3] 的期望次数Lambda	4	4
P(N = 5)p_n	0.19536681	0.19536681

项	标准答案	平台算出
Λ(s, t)：区间 (0, 3] 的期望次数Lambda	12	12
P(N = 5)p_n	6.14421e-6	6.14421e-6

项	标准答案	平台算出
给定 N(3) = 4，第 2 次的期望时间cond_mean	4	4

项	标准答案	平台算出
给定 N(3) = 4，第 2 次的期望时间cond_mean	0.66666667	0.66666667

项	标准答案	平台算出
第 5 次到达的期望时间 E[T_5]mean_Tn	1.5	1.5
P(T_5 ≤ 3)p_Tn_le_t	0.32332358	0.32332358

项	标准答案	平台算出
累计赔款的均值mean_S	5,000	5,000
累计赔款的偏度skew_S	0.6	0.6
累计赔款的方差var_S	6,250,000	6,250,000

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：11 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 17 行825 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.stochastic import poisson34result = poisson.poisson_process(5    kind="constant",6    a=2,7    b=1,8    c=2,9    s=0,10    t=3,11    n=5,12    k=4,13    j=2,14    sev_mean=1000,15    sev_cv=1,16)17print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Ross：Introduction to Probability Models第 5 章 The Exponential Distribution and the Poisson Process：5.3–5.4
IFoA CS2 核心读物泊松过程和复合泊松过程

覆盖的考试公式

STP-002泊松过程增量与复合泊松过程MAS-ICM2CS1CS2
STP-014非齐次泊松过程与事件时间的条件分布MAS-I

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

齐次、线性强度和幂函数强度（Weibull 型）的泊松过程：区间 (s, t] 的次数 ~ Poisson(Λ(s, t))，第 n 次到达时间的分布和期望，给定 N(t) = k 时到达时间是密度 λ(u)/Λ(t) 的 k 个独立同分布变量的顺序统计量（齐次时 E = jt/(k+1)），复合泊松过程累计赔款的均值、方差和偏度。

说明和限制

线性强度 a + bt 在 b < 0 时到 −a/b 以后取 0（之后不再发生），这时第 n 次可能永远不发生，E[T_n] 是无穷大（显示为空）。
给定 N(t) = k 时，k 个到达时间（不排序）独立同分布，分布函数 F(u) = Λ(u)/Λ(t)；第 j 次的期望 E[T_(j)] = ∫_0^t P(Bin(k, F(u)) < j) du（数值积分）。
复合泊松过程的赔款用伽马分布（给均值和变异系数）。模拟见 simulation.poisson_process；总损失的分布见 aggregate 方法族。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

随机过程，还有 12 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“理赔按（可能随时间变化的）强度发生，一段时间内发生 n 次的概率是多少？第 n 次理赔平均什么时候发生？已知 t 年内发生了 k 次，第 j 次平均在什么时候？累计赔款的均值和方差是多少？”