布朗运动和几何布朗运动：分布、最大值和到达概率

资产价格或盈余按（几何）布朗运动变化，t 年后的分布是什么？t 年内曾经到过某个水平的概率是多少？最终会到达吗？

CAS MAS-IIFoA CM2IFoA CS2按输入的参数计算

公式

\displaystyle X_t=x_0+\mu t+\sigma W_t\sim N(x_0+\mu t,\sigma^2t)

\displaystyle \Pr\Big(\max_{s\le t}X_s\ge a\Big)=\bar\Phi\Big(\frac{b-\mu t}{\sigma\sqrt t}\Big)+e^{2\mu b/\sigma^2}\Phi\Big(\frac{-b-\mu t}{\sigma\sqrt t}\Big),\ b=a-x_0

\displaystyle \Pr(\tau_a<\infty)=\min(1,e^{2\mu b/\sigma^2})

\displaystyle S_t=S_0e^{(\mu-\sigma^2/2)t+\sigma W_t},\ \mathrm E[S_t]=S_0e^{\mu t}

\displaystyle \sum_k(\Delta X_k)^2\to\sigma^2t

对过的标准答案: 4 条
覆盖的考试公式: 0 个
参数: 10 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

模型

起点 x_0

范围 -100 万到 100 万

漂移 μ

几何布朗运动时是年收益率

-55

波动率 σ

0.0015

时间长度 t年

0.01 年50 年

关心的水平 a

布朗运动是 X 的水平，几何布朗运动是价格

范围 -100 万到 100 万

模拟的路径数

2002 万

每条路径的步数

102,000

随机种子

0214,748.36 万

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算，模拟用固定种子 20261113

输出

用时 828 毫秒 · 11/14 22:23 运行

t 时的均值: 0
t 时的标准差: 1
t 时的中位数: 0
5% 分位数: -1.64485
95% 分位数: 1.64485
P(X_t > a): 0.158655
t 内最高到过 a 的概率: 31.73%
最终到达 a 的概率: 100%
到达 a 的平均时间: —
模拟：t 时的均值: -0.026448
模拟：t 时的方差: 0.981226
模拟：到过 a 的比例（离散监测）: 28.82%
二次变差（4000 步）: 0.979272

5 条样本路径

路径 1
路径 2
路径 3
路径 4
路径 5
水平 a

纵轴：X_t

解析结果和模拟的对照analytic4 行 · 3 列

结果表解析结果和模拟的对照
量	解析值	模拟（5000 条路径）
t 时的均值	0	-0.026448
t 时的方差	1	0.981226
P(X_t > a)	0.158655	0.1472
P(t 内最高到过 a)	0.317311	0.2882

鞅的检验（模拟的均值）martingale4 行 · 4 列

结果表鞅的检验（模拟的均值）
过程	理论的期望	模拟的均值	标准误
W_t（标准布朗运动）	0	-0.026448	0.0140088
W_t² − t	0	-0.0182703	0.0202604
exp(W_t − t/2)（指数鞅）	1	0.978177	0.0194834
X_t − μt	0	-0.026448	0.0140088

二次变差：步长越小越接近 σ²tqv5 行 · 3 列

结果表二次变差：步长越小越接近 σ²t
步数	Σ(ΔX)²	σ²t
250	0.990922	1
500	0.927338	1
1,000	0.947534	1
2,000	0.971576	1
4,000	0.979272	1

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02标准答案

4 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
反射原理（手算）：标准布朗运动 P(max_{s≤1} W_s ≥ 1) = 2(1 − Φ(1)) = 0.3173105079
参数关心的水平 a 1模型带漂移的布朗运动 X_t = x_0 + μt + σW_t漂移 μ 0波动率 σ 1时间长度 t 1 年起点 x_0 0其余用默认值
项标准答案这次算出
最终到达 a 的概率p_hit 1 1
t 内最高到过 a 的概率p_max 0.31731051 0.31731051
允许误差 1×10⁻¹⁰ + 1×10⁻⁹×|答案|
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 2 条
平台算出的数对得上
闭式公式：μ = −0.5 时最终到达 1 的概率 e^{2μb/σ²} = e^{−1}；t = 2 内的概率 Φ̄((1 + 1)/√2) + e^{−1}Φ((−1 + 1)/√2) = Φ̄(1.41421) + e^{−1}/2 = 0.0786496 + 0.1839397（手算）
参数关心的水平 a 1模型带漂移的布朗运动 X_t = x_0 + μt + σW_t漂移 μ -0.5波动率 σ 1时间长度 t 2 年起点 x_0 0其余用默认值
项标准答案平台算出
最终到达 a 的概率p_hit 0.36787944 0.36787944
t 内最高到过 a 的概率p_max 0.26258932 0.26258932
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 3 条
平台算出的数对得上
Itô 公式的闭式解（手算）：E[S_2] = 100e^{0.1}；P(S_2 > 120) = Φ((ln(100/120) + (0.05 − 0.02)×2)/(0.2√2)) = Φ(−0.432472) = 0.332699
参数关心的水平 a 120模型几何布朗运动 dS = μS dt + σS dW漂移 μ 0.05起始价格 S_0 100 元波动率 σ 0.2时间长度 t 2 年其余用默认值
项标准答案平台算出
t 时的均值mean_T 110.51709 110.51709
P(X_t > a)p_above 0.3326992 0.3326992
允许误差 1×10⁻⁸ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 4 条
平台算出的数对得上
闭式解：X_1 ~ N(0.3, 1.44)；二次变差 Σ(ΔX)² → σ²t = 1.44（2 万条路径的均值标准误约 0.008，方差相对误差约 1%；最细网格 16000 步的二次变差相对标准误约 1.1%）
参数关心的水平 a 1模型带漂移的布朗运动 X_t = x_0 + μt + σW_t漂移 μ 0.3模拟的路径数 2 万每条路径的步数 1,000波动率 σ 1.2时间长度 t 1 年起点 x_0 0其余用默认值
项标准答案平台算出
二次变差（4000 步）qv_fine 1.44 1.4274375
模拟：t 时的均值sim_mean 0.3 0.28777088
模拟：t 时的方差sim_var 1.44 1.4397949
允许误差 0 + 0.05×|答案|

项	标准答案	这次算出
最终到达 a 的概率p_hit	1	1
t 内最高到过 a 的概率p_max	0.31731051	0.31731051

项	标准答案	平台算出
最终到达 a 的概率p_hit	0.36787944	0.36787944
t 内最高到过 a 的概率p_max	0.26258932	0.26258932

项	标准答案	平台算出
t 时的均值mean_T	110.51709	110.51709
P(X_t > a)p_above	0.3326992	0.3326992

项	标准答案	平台算出
二次变差（4000 步）qv_fine	1.44	1.4274375
模拟：t 时的均值sim_mean	0.3	0.28777088
模拟：t 时的方差sim_var	1.44	1.4397949

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：10 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 16 行828 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.stochastic import brownian34result = brownian.brownian_motion(5    model="bm",6    x0=0,7    s0=100,8    mu=0,9    sigma=1,10    t=1,11    a=1,12    n_paths=5000,13    n_steps=250,14    seed=20261113,15)16print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

IFoA CM2 核心读物布朗运动、Itô 公式、几何布朗运动
Ross：Introduction to Probability Models第 10 章 Brownian Motion：10.1–10.3
Shreve：Stochastic Calculus for Finance II第 3 章二次变差、第 4 章 Itô 公式

这个方法算什么

带漂移的布朗运动 X_t ~ N(x_0 + μt, σ²t)，t 内最大值超过水平 a 的概率用反射原理（含漂移）的闭式公式，最终到达的概率 e^{2μb/σ²}（μ < 0）。几何布朗运动由 Itô 公式 S_t = S_0 exp((μ − σ²/2)t + σW_t)，对数正态分布。用固定种子的模拟核对分布和最大值（离散监测会低估），并演示二次变差 Σ(ΔX)² → σ²t、W_t² − t 和 e^{−μt}S_t 是鞅。

说明和限制

几何布朗运动的水平 a 是价格；取对数后变成漂移 μ − σ²/2、波动率 σ 的布朗运动，用同样的公式。a 不大于 0 时没有意义，按“已经到达”算。
a 低于起点时按最小值算（把过程取负）。模拟的最大值只在离散时点上检查，会略低于连续时间的概率，步数越多越接近。
模拟按步生成正态增量，固定种子可以重复。二次变差用第 1 条路径在越来越细的网格上计算。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

随机过程，还有 12 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“资产价格或盈余按（几何）布朗运动变化，t 年后的分布是什么？t 年内曾经到过某个水平的概率是多少？最终会到达吗？二次变差和鞅性质在模拟里是什么样？”