系统可靠性：串联、并联、k/n 系统和路集、割集的上下界 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

系统的结构

各部件正常的概率 p_i5 个数

个数就是部件数，最多 12 个

最小 0.9最大 0.9均值 0.9

1–12 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

指数寿命的均值1 个数 · 年

每个部件一个；只给一个数时都用它

最小 1最大 1均值 1

1–12 个数，每个在 0.000001–100 万之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

当前选项用不到的 2 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

桥式系统（5 个部件）

输出

用时 475 毫秒 · 11/14 22:25 运行

系统的可靠度 r: 0.97848
割集的下界: 0.978141
路集的上界: 0.997349
最小路集的个数: 4
最小割集的个数: 4
指数寿命时系统的平均寿命: 0.816667年

系统在时刻 t 还正常的概率（指数寿命）

纵轴：概率

部件的可靠度和平均寿命components5 行 · 3 列

结果表部件的可靠度和平均寿命
部件	可靠度 p_i	指数寿命的均值
1	0.9	1
2	0.9	1
3	0.9	1
4	0.9	1
5	0.9	1

最小割集cuts4 行 · 2 列

结果表最小割集
最小割集（部件编号）	全部失效的概率
{1, 2}	0.01
{4, 5}	0.01
{1, 3, 5}	0.001
{2, 3, 4}	0.001

最小路集paths4 行 · 2 列

结果表最小路集
最小路集（部件编号）	全部正常的概率
{1, 4}	0.81
{2, 5}	0.81
{1, 3, 5}	0.729
{2, 3, 4}	0.729

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

4 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
Ross 第 9 章桥式系统的闭式解：r = 2p² + 2p³ − 5p⁴ + 2p⁵；割集 {1,2}、{4,5}、{1,3,5}、{2,3,4} 的下界 (1 − 0.1²)²(1 − 0.1³)²，路集的上界 1 − (1 − 0.9²)²(1 − 0.9³)²（手算）
参数各部件正常的概率 p_i 5 个数系统的结构桥式系统（5 个部件）其余用默认值
项标准答案这次算出
割集的下界lower 0.97814078 0.97814078
系统的可靠度 rr 0.97848 0.97848
路集的上界upper 0.99734878 0.99734878
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 2 条
平台算出的数对得上
手算：2/3 系统 r = p1p2 + p1p3 + p2p3 − 2p1p2p3；3 个均值 1 的指数部件，第 2 个坏掉的时间期望 1/3 + 1/2 = 5/6
参数k/n 系统：至少几个部件正常 2指数寿命的均值 1 个数各部件正常的概率 p_i 3 个数系统的结构 k/n 系统：至少 k 个部件正常其余用默认值
项标准答案平台算出
指数寿命时系统的平均寿命mean_life 0.83333333 0.83333333
系统的可靠度 rr 0.902 0.902
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 3 条
平台算出的数对得上
手算：串联 r = 0.9×0.8；寿命是最小值 ~ Exp(1 + 2)，期望 1/3
参数指数寿命的均值 2 个数各部件正常的概率 p_i 2 个数系统的结构串联：全部部件都正常才正常其余用默认值
项标准答案平台算出
指数寿命时系统的平均寿命mean_life 0.33333333 0.33333333
系统的可靠度 rr 0.72 0.72
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 4 条
平台算出的数对得上
手算：并联 r = 1 − 0.5²；两个均值 1 的指数部件的最大值期望 1 + 1/2
参数指数寿命的均值 1 个数各部件正常的概率 p_i 2 个数系统的结构并联：有一个部件正常就正常其余用默认值
项标准答案平台算出
指数寿命时系统的平均寿命mean_life 1.5 1.5
系统的可靠度 rr 0.75 0.75
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	这次算出
割集的下界lower	0.97814078	0.97814078
系统的可靠度 rr	0.97848	0.97848
路集的上界upper	0.99734878	0.99734878

项	标准答案	平台算出
指数寿命时系统的平均寿命mean_life	0.83333333	0.83333333
系统的可靠度 rr	0.902	0.902

项	标准答案	平台算出
指数寿命时系统的平均寿命mean_life	0.33333333	0.33333333
系统的可靠度 rr	0.72	0.72

项	标准答案	平台算出
指数寿命时系统的平均寿命mean_life	1.5	1.5
系统的可靠度 rr	0.75	0.75

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：5 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 11 行475 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.stochastic import reliability34result = reliability.reliability(5    structure="bridge",6    p=[0.9, 0.9, 0.9, 0.9, 0.9],7    k=2,8    paths="1-4;2-5;1-3-5;2-3-4",9    means=[1],10)11print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Ross：Introduction to Probability Models第 9 章 Reliability Theory：9.2–9.5

覆盖的考试公式

STP-016可靠性：串联、并联、k/n 系统与最小路集/割集界MAS-I

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

按最小路集写出结构函数，枚举全部 2^n 个状态算出准确的可靠度；求出最小割集，给出路集、割集的上下界；部件寿命是独立的指数分布时，系统的平均寿命 E[T] = ∫ r(F̄_1(t), …, F̄_n(t)) dt。

说明和限制

部件相互独立。可靠度是枚举 2^n 个状态的准确值；上下界是路集、割集的近似（部件可靠度高时下界很准）。
平均寿命用 scipy.integrate.quad 积分，部件寿命是独立的指数分布。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

随机过程，还有 12 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“由几个独立部件组成的系统（串联、并联、至少 k 个正常、桥式），系统正常工作的概率是多少？用最小路集和割集估计的上下界是多少？部件寿命服从指数分布时系统平均能用多久？”