马尔可夫链的转移概率估计和马尔可夫性检验 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

数据

演示数据：序列的长度

205,000

演示数据：随机种子

0214,748.36 万

检验的显著性水平

0.0010.5

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

演示数据，不是真实数据

演示数据：用天气链（晴、多云、雨）模拟的序列，365 天，种子 20261113（不是真实数据）

输出

用时 838 毫秒 · 11/14 22:24 运行

观察的长度: 365天
状态数: 3
卡方统计量 X²: 13.3915
自由度 ν: 12
p 值: 0.34124
在 0.05 水平拒绝马尔可夫性: 否

状态序列（前 200 个）

纵轴：状态编号

转移次数 n_ijcounts3 行 · 4 列

结果表转移次数 n_ij
从	到晴	到多云	到雨
晴	79	37	11
多云	32	51	43
雨	16	38	57

转移概率的估计和标准误estimate3 行 · 8 列

结果表转移概率的估计和标准误
从	n_i	p̂ 到晴	p̂ 到多云	p̂ 到雨	标准误（到晴）	标准误（到多云）	标准误（到雨）
晴	127	0.622047	0.291339	0.0866142	0.0430258	0.0403196	0.0249586
多云	126	0.253968	0.404762	0.34127	0.0387778	0.043728	0.0422394
雨	111	0.144144	0.342342	0.513514	0.0333378	0.0450369	0.0474406

三元组的观察数和期望数triplets27 行 · 4 列

结果表三元组的观察数和期望数
三元组 i→j→k	观察数 n_ijk	期望数 n_ij·p̂_jk	对 X² 的贡献
晴→晴→晴	43	49.1417	0.767594
晴→晴→多云	27	23.0157	0.689713
晴→晴→雨	9	6.84252	0.680264
多云→晴→晴	25	19.2835	1.69465
多云→晴→多云	4	9.0315	2.80307
多云→晴→雨	2	2.68504	0.174775
雨→晴→晴	10	9.95276	0.00022426
雨→晴→多云	6	4.66142	0.38439
雨→晴→雨	0	1.38583	1.38583
晴→多云→晴	11	9.39683	0.273515
晴→多云→多云	16	14.9762	0.0699902
晴→多云→雨	10	12.627	0.546532
多云→多云→晴	14	12.9524	0.0847339
多云→多云→多云	20	20.6429	0.0200198
多云→多云→雨	17	17.4048	0.00941307
雨→多云→晴	7	9.65079	0.728096
雨→多云→多云	15	15.381	0.00943535
雨→多云→雨	16	12.9683	0.708768
晴→雨→晴	3	1.58559	1.26172
晴→雨→多云	3	3.76577	0.155718
晴→雨→雨	5	5.64865	0.074486
多云→雨→晴	7	6.1982	0.103721
多云→雨→多云	14	14.7207	0.0352862
多云→雨→雨	22	22.0811	0.000297727
雨→雨→晴	6	8.21622	0.597795
雨→雨→多云	21	19.5135	0.113237
雨→雨→雨	30	29.2703	0.0181927

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

手算：相邻对 n_11 = 3、n_12 = 3、n_21 = 2、n_22 = 1；三元组 112×2、121、212、122、221、211、111；X² = 1/6 + 1/6 + 1/12 + 1/6 + 1/6 + 1/3 = 13/12，ν = 2，p = e^{−13/24}（2 个自由度的卡方生存函数）

参数状态序列 10 个数数据自己输入状态序列其余用默认值

项	标准答案	平台算出
卡方统计量 X²chi2	1.0833333	1.0833333
自由度 νdf	2	2
p 值p_value	0.58177781	0.58177781
p̂ 到晴表 estimate · 第 1 行	0.5	0.5
p̂ 到晴表 estimate · 第 2 行	0.66666667	0.66666667

允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

第 2 条
平台算出的数对得上
构造：二阶的序列（明天取决于今天和昨天），2000 天时三元组检验应拒绝马尔可夫性
参数演示数据：序列的长度 2,000数据演示数据：明天取决于今天和昨天的序列（二阶，不是马尔可夫链）其余用默认值
项标准答案平台算出
在 0.05 水平拒绝马尔可夫性reject 是是
允许误差 0.000001
第 3 条
平台算出的数对得上
一致性：用已知的天气链（p_11 = 0.6、p_22 = 0.4、p_33 = 0.5）模拟 5000 天，估计值的标准误约 0.01，误差放宽到 0.03
参数演示数据：序列的长度 5,000数据演示数据：用天气链（晴、多云、雨）模拟的序列其余用默认值
项标准答案平台算出
p̂ 到晴表 estimate · 第 1 行 0.6 0.60649819
p̂ 到多云表 estimate · 第 2 行 0.4 0.39869281
p̂ 到雨表 estimate · 第 3 行 0.5 0.49164851
允许误差 0.03

项	标准答案	平台算出
在 0.05 水平拒绝马尔可夫性reject	是	是

项	标准答案	平台算出
p̂ 到晴表 estimate · 第 1 行	0.6	0.60649819
p̂ 到多云表 estimate · 第 2 行	0.4	0.39869281
p̂ 到雨表 estimate · 第 3 行	0.5	0.49164851

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：5 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 11 行838 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.stochastic import markov_estimation34result = markov_estimation.markov_estimation(5    source="demo_markov",6    n_obs=365,7    seed=20261113,8    sequence=[1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2],9    alpha=0.05,10)11print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

IFoA CS2 核心读物马尔可夫链：转移概率的估计和马尔可夫性的检验
Anderson、Goodman (1957) Statistical inference about Markov chains一阶对二阶的卡方检验

覆盖的考试公式

STP-005转移概率估计与卡方检验CS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

转移概率的极大似然估计 p̂_ij = n_ij/n_i 和标准误；用三元组 (i, j, k) 的观察数和 n_ij·p̂_jk 比较，卡方检验“明天只取决于今天”。

说明和限制

n_ij 数的是相邻两天 (i, j) 出现的次数，n_i = Σ_j n_ij。三元组检验里的 n_ij 只数后面还跟着一天的 (i, j)。
期望数 n_ij·p̂_jk 为 0 的格子不计入。自由度 ν = Σ_j (r_j − 1)(c_j − 1)：r_j 是 n_ij > 0 的 i 的个数，c_j 是 p̂_jk > 0 的 k 的个数（转移矩阵全是正数时 ν = s(s − 1)²）。
期望数小于 5 的格子多时，卡方近似不准；序列短时把它当参考。

数据

演示数据（固定种子模拟的状态序列，不是真实数据），或调用时给的状态序列

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

随机过程，还有 12 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“观察到一串状态（例如每天的天气、每年的等级），转移概率估计是多少？这串数据真的符合马尔可夫链吗？”