泊松过程的分流与合并

几类理赔各自按泊松过程独立发生（或一个泊松过程按比例分成几类），合起来的强度是多少？

CAS MAS-IIFoA CS2按输入的参数计算

公式

\displaystyle N=\sum_jN_j\sim\mathrm{PP}\Big(\sum_j\lambda_j\Big)

\displaystyle N_j\sim\mathrm{Poisson}(\lambda p_jt)\ \text{相互独立}

\displaystyle \Pr(\text{下一次是第 }j\text{ 类})=\frac{\lambda_j}{\sum_k\lambda_k}

\displaystyle N_1\mid N=n\sim\mathrm{Bin}(n,p_1)

\displaystyle \Pr(\text{第 1 类先到 }a\text{ 次})=\sum_{i=a}^{a+b-1}\binom{a+b-1}{i}q^i(1-q)^{a+b-1-i},\ q=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}

对过的标准答案: 2 条
覆盖的考试公式: 1 个
参数: 5 个
开源库: 1 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

各类事件的强度 λ_j3 个数 · 次/年

最小 0.5最大 3均值 1.5

2–12 个数，每个在 0.0001–1 万之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

时间长度 t年

0.01 年100 年

第 1 类的次数 a次

0 次500 次

第 2 类的次数 b次

0 次500 次

给定的总次数 n次

条件分布用

0 次1,000 次

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的强度计算

输出

用时 863 毫秒 · 11/14 22:24 运行

合并后的强度 Σλ_j: 4.5次/年
t 内的总次数的期望: 4.5次
下一次是第 1 类的概率: 66.67%
P(N_1 = 2, N_2 = 1): 0.0824204
第 1 类先到 2 次（第 2 类到 1 次之前）的概率: 56.25%
给定总次数 10，P(N_1 = 2): 0.00304832
第 1 类第一次发生的平均等待时间: 0.333333年

各类事件的份额

纵轴：份额

给定总次数时第 1 类的次数（二项分布）conditional11 行 · 2 列

结果表给定总次数时第 1 类的次数（二项分布）
第 1 类的次数	P(N_1 = m \| N = 10)
0	0.00001694
1	0.000338702
2	0.00304832
3	0.0162577
4	0.0569019
5	0.136565
6	0.227608
7	0.260123
8	0.195092
9	0.0867076
10	0.0173415

各类事件的强度、份额和概率types3 行 · 7 列

结果表各类事件的强度、份额和概率
类别	强度 λ_j	份额 p_j	t 内的期望次数	t 内不发生的概率	下一次是这一类的概率	平均等待时间 1/λ_j
第 1 类	3	0.666667	3	0.0497871	0.666667	0.333333
第 2 类	1	0.222222	1	0.367879	0.222222	1
第 3 类	0.5	0.111111	0.5	0.606531	0.111111	2

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02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
手算：N_1 ~ Poisson(6)，N_2 ~ Poisson(2)，P(N_1 = 2, N_2 = 1) = e^{−6}·36/2 × e^{−2}·2 = 36e^{−8}；下一次是第 1 类的概率 3/4；第 1 类先到 2 次（第 2 类到 1 次之前）= q² = 0.5625
参数第 1 类的次数 a 2 次第 2 类的次数 b 1 次各类事件的强度 λ_j 2 个数时间长度 t 2 年其余用默认值
项标准答案平台算出
下一次是第 1 类的概率p_first_1 0.75 0.75
P(N_1 = 2, N_2 = 1)p_joint 0.012076655 0.012076655
第 1 类先到 2 次（第 2 类到 1 次之前）的概率p_race 0.5625 0.5625
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|
第 2 条
平台算出的数对得上
手算：给定总次数 10，N_1 ~ Bin(10, 0.75)，P(N_1 = 7) = C(10, 7)·0.75⁷·0.25³
参数第 1 类的次数 a 7 次给定的总次数 n 10 次各类事件的强度 λ_j 2 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
给定总次数 10，P(N_1 = 2)p_cond 0.25028229 0.25028229
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
下一次是第 1 类的概率p_first_1	0.75	0.75
P(N_1 = 2, N_2 = 1)p_joint	0.012076655	0.012076655
第 1 类先到 2 次（第 2 类到 1 次之前）的概率p_race	0.5625	0.5625

项	标准答案	平台算出
给定总次数 10，P(N_1 = 2)p_cond	0.25028229	0.25028229

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：5 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 11 行863 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.stochastic import poisson34result = poisson.poisson_split_merge(5    rates=[3, 1, 0.5],6    t=1,7    n1=2,8    n2=1,9    n_total=10,10)11print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Ross：Introduction to Probability Models第 5 章 5.3.4–5.3.5：分流和合并
IFoA CS2 核心读物泊松过程

覆盖的考试公式

STP-015泊松过程的分流与合并MAS-ICS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

独立泊松过程合并后仍是泊松过程，强度相加；一个泊松过程按概率 p_j 分流得到相互独立的泊松过程。给出各类的强度和份额、下一次事件属于哪一类的概率、两类次数的联合概率、给定总次数时的二项分布，以及“第 1 类先到 a 次”的负二项概率。

说明和限制

各类事件相互独立。分流时第 j 类的份额 p_j = λ_j/Σλ_k。“第 1 类先到 a 次”只看第 1、2 类，忽略其他类。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验

05同族的方法

随机过程，还有 12 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“几类理赔各自按泊松过程独立发生（或一个泊松过程按比例分成几类），合起来的强度是多少？下一次是哪一类的概率多大？t 年内第 1 类发生 a 次、第 2 类发生 b 次的概率是多少？第 1 类先发生 a 次的概率是多少？”