马尔可夫链的吸收概率和首次到达时间 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

转移矩阵

起始状态

从 1 开始编号

112

关心的状态 j

从 1 开始编号

112

首次到达分布算到第几步步

1 步500 步

当前选项用不到的 4 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

贷款的信用等级：优、良、差，违约和提前还清是吸收状态（教学例子）

输出

用时 193 毫秒 · 11/14 22:24 运行

从“优”最终被“违约”吸收的概率: 69.92%
到吸收的平均步数: 18.9344步
到吸收的步数的标准差: 15.7949步
在“违约”的期望访问次数 s_ij: —
到达过“违约”的概率 f_ij: —
最终到达“违约”的概率: 69.92%
平均首次到达（或回到）“违约”的步数: —
40 步内到达的概率: 63.18%

从“优”首次到达“违约”的步数

纵轴：概率

最终被各吸收状态吸收的概率absorb3 行 · 3 列

结果表最终被各吸收状态吸收的概率
从	被违约吸收	被提前还清吸收
优	0.69918	0.30082
良	0.713443	0.286557
差	0.784426	0.215574

基本矩阵 S = (I − P_T)⁻¹：瞬态状态的期望访问次数fundamental3 行 · 6 列

结果表基本矩阵 S = (I − P_T)⁻¹：瞬态状态的期望访问次数
从	在优	在良	在差	到吸收的平均步数	步数的标准差
优	10.6557	5.40984	2.86885	18.9344	15.7949
良	5.2459	7.27869	2.95082	15.4754	15.0512
差	2.45902	2.78689	4.5082	9.7541	12.7447

到达关心的状态：概率和平均步数passage5 行 · 3 列

结果表到达关心的状态：概率和平均步数
从	最终到达违约的概率	平均首次到达步数
优	0.69918	—
良	0.713443	—
差	0.784426	—
违约	—	1
提前还清	0	—

首次到达的步数的分布pmf40 行 · 3 列

结果表首次到达的步数的分布
步数 n	首次到达的概率 f^(n)	n 步内到达的概率
1	0.01	0.01
2	0.016	0.026
3	0.020696	0.046696
4	0.0241184	0.0708144
5	0.0264182	0.0972326
6	0.0277865	0.125019
7	0.0284134	0.153433
8	0.0284694	0.181902
9	0.0280987	0.210001
10	0.0274192	0.23742
11	0.026524	0.263944
12	0.0254857	0.28943
13	0.0243599	0.313789
14	0.023188	0.336977
15	0.0220011	0.358979
16	0.0208215	0.3798
17	0.0196651	0.399465
18	0.0185429	0.418008
19	0.0174623	0.43547
20	0.0164279	0.451898
21	0.0154421	0.46734
22	0.0145061	0.481846
23	0.0136196	0.495466
24	0.012782	0.508248
25	0.011992	0.52024
26	0.0112477	0.531488
27	0.0105475	0.542035
28	0.0098891	0.551924
29	0.00927057	0.561195
30	0.00868977	0.569885
31	0.00814466	0.578029
32	0.0076332	0.585663
33	0.00715346	0.592816
34	0.00670358	0.59952
35	0.00628176	0.605801
36	0.00588632	0.611688
37	0.00551564	0.617203
38	0.00516821	0.622372
39	0.0048426	0.627214
40	0.00453745	0.631752

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

4 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
赌徒破产的闭式解（手算）：q/p = 1.5，P(到 4) = (1 − 1.5²)/(1 − 1.5⁴) = 4/13；平均步数 i/(q−p) − N/(q−p)·P(到 N) = 10 − 20×4/13 = 50/13
参数赌徒破产：目标资金 N 4赌徒破产：起始资金 i 2赌徒破产：每步赢的概率 p 0.4转移矩阵赌徒破产：资金每步 +1（概率 p）或 −1，到 0 或 N 停止其余用默认值
项标准答案平台算出
从“优”最终被“违约”吸收的概率absorb_target 0.30769231 0.30769231
到吸收的平均步数mean_steps 3.8461538 3.8461538
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
从“优”最终被“违约”吸收的概率absorb_target	0.30769231	0.30769231
到吸收的平均步数mean_steps	3.8461538	3.8461538

第 2 条

平台算出的数对得上

手算 2×2 逆矩阵：I − P_T = [[0.6, −0.3], [−0.2, 0.5]]，行列式 0.24，S = [[0.5, 0.3], [0.2, 0.6]]/0.24；f_11 = (s_11 − 1)/s_11 = 0.52，B_13 = (0.5×0.2 + 0.3×0.1)/0.24，t_1 = 0.8/0.24

参数转移矩阵 16 个数转移矩阵自己输入转移矩阵起始状态 1关心的状态 j 3其余用默认值

项	标准答案	平台算出
从“优”最终被“违约”吸收的概率absorb_target	0.54166667	0.54166667
到吸收的平均步数mean_steps	3.3333333	3.3333333
在优表 fundamental · 第 1 行	2.0833333	2.0833333
在良表 fundamental · 第 1 行	1.25	1.25
在良表 fundamental · 第 2 行	2.5	2.5

允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

第 3 条
平台算出的数对得上
手算：同上的 S，s_11 = 0.5/0.24 = 2.0833，回到状态 1 的概率 f_11 = (s_11 − 1)/s_11 = 1.0833/2.0833 = 0.52
参数转移矩阵 16 个数转移矩阵自己输入转移矩阵起始状态 1关心的状态 j 1其余用默认值
项标准答案平台算出
到达过“违约”的概率 f_ijf_start 0.52 0.52
在“违约”的期望访问次数 s_ijvisits 2.0833333 2.0833333
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
到达过“违约”的概率 f_ijf_start	0.52	0.52
在“违约”的期望访问次数 s_ijvisits	2.0833333	2.0833333

第 4 条

平台算出的数对得上

手算：两状态链从 1 到 2 的首次到达步数 ~ 几何分布(0.3)，平均 1/0.3，P(T = 3) = 0.7²×0.3；回到 2 的平均时间 m_22 = 1 + p_21·m_12 = 1 + 0.2/0.3 = 1/π_2 = 5/3

参数首次到达分布算到第几步 3 步转移矩阵 4 个数转移矩阵自己输入转移矩阵起始状态 1关心的状态 j 2其余用默认值

项	标准答案	平台算出
平均首次到达（或回到）“违约”的步数mean_passage	3.3333333	3.3333333
平均首次到达步数表 passage · 第 2 行	1.6666667	1.6666667
首次到达的概率 f^(n)表 pmf · 第 3 行	0.147	0.147

允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：8 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 14 行193 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.stochastic import absorbing_chain34result = absorbing_chain.absorbing_chain(5    preset="credit",6    matrix=[0.4, 0.3, 0.2, 0.1, 0.2, 0.5, 0.1, 0.2, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1],7    p=0.4,8    N=10,9    capital=5,10    start=1,11    target=4,12    horizon=40,13)14print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Ross：Introduction to Probability Models第 4 章：4.5.1 赌徒破产、4.6 瞬态状态的平均停留时间
IFoA CS2 核心读物马尔可夫链：吸收状态和到达时间

覆盖的考试公式

STP-010马尔可夫链：常返/瞬态、瞬态期望访问次数MAS-I

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

把转移矩阵分成瞬态部分 P_T 和吸收部分 R：基本矩阵 S = (I − P_T)⁻¹ 是期望访问次数，B = SR 是吸收概率，S·1 是到吸收的平均步数（另给方差）；f_ij = (s_ij − δ_ij)/s_jj 是到达过 j 的概率。任何链都可以算到某个状态的到达概率、平均首次到达时间和首次到达步数的分布。

说明和限制

p_ii = 1 的状态当作吸收状态，其余的当作瞬态（链里除吸收状态外还有别的闭类时，S 不存在，只算到达概率和到达时间）。
首次到达分布 f^(n) 用“禁止 j 的转移矩阵”连乘得到；起始状态等于 j 时是第一次回到 j 的步数。到达概率小于 1 时平均到达时间是无穷大（显示为空）。
随机游走的闭式结果（无界、反射、首次到达）见 stochastic.random_walk；平稳分布和状态分类见 stochastic.markov_chain。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

随机过程，还有 12 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“链里有吸收状态（违约、死亡、破产）时，从某个状态出发最终被哪个吸收状态吸收的概率是多少？平均要几步？在每个瞬态状态平均待几次？第一次到达某个状态要几步？”