随机游走：分布、最大值、首次到达和赌徒破产

每步 +1（概率 p）或 −1，n 步后在哪里？n 步内最高到过某个水平的概率是多少？最终能到达某个水平吗？

SOA SRMCAS MAS-ICAS MAS-IIIFoA CS2按输入的参数计算

公式

\displaystyle S_n=S_0+\sum_{j=1}^nY_j,\ \Pr(Y_j=1)=p:\ \mathrm E[S_n]=S_0+n(p-q),\ \mathrm{Var}(S_n)=4npq

\displaystyle \text{对称时}\ \Pr\big(\max_{k\le n}S_k\ge a\big)=2\Pr(S_n>a)+\Pr(S_n=a)

\displaystyle \Pr(\text{到达 }+a)=\min\big(1,(p/q)^a\big)

\displaystyle \Pr_i(\text{先到 }N)=\frac{1-(q/p)^i}{1-(q/p)^N},\ \ D_i=\frac{i}{q-p}-\frac N{q-p}\Pr_i(\text{先到 }N)

对过的标准答案: 3 条
覆盖的考试公式: 1 个
参数: 5 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

每步 +1 的概率 p

0.010.99

步数 n步

1 步2,000 步

关心的水平：比起点高 a

12,000

赌徒破产：起始资金 i

1999

赌徒破产：目标资金 N

21,000

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算

输出

用时 839 毫秒 · 11/14 22:24 运行

20 步后位置变化的均值: 0
20 步后位置变化的方差: 20
20 步内最高到过 +4 的概率: 38.33%
反射原理的公式（对称时）: 0.38331
最终到达 +4 的概率: 100%
到达 +4 的平均步数: —
从 5 出发先到 10 的概率: 50%
从 5 出发先到 10 的概率的补：破产概率: 50%
到 0 或 N 的平均步数: 25步

20 步后位置变化的分布

纵轴：概率

起点和到达上界的概率、平均时长barrier11 行 · 3 列

结果表起点和到达上界的概率、平均时长
起点 i	先到 10 的概率	平均步数
0	0	0
1	0.1	9
2	0.2	16
3	0.3	21
4	0.4	24
5	0.5	25
6	0.6	24
7	0.7	21
8	0.8	16
9	0.9	9
10	1	0

n 步后位置的分布dist21 行 · 3 列

结果表 n 步后位置的分布
位置变化 S_n − S_0	概率	累计概率
-20	9.54×10⁻⁷	9.54×10⁻⁷
-18	0.00001907	0.00002003
-16	0.000181198	0.000201225
-14	0.00108719	0.00128841
-12	0.00462055	0.00590897
-10	0.0147858	0.0206947
-8	0.0369644	0.0576591
-6	0.0739288	0.131588
-4	0.120134	0.251722
-2	0.160179	0.411901
0	0.176197	0.588099
2	0.160179	0.748278
4	0.120134	0.868412
6	0.0739288	0.942341
8	0.0369644	0.979305
10	0.0147858	0.994091
12	0.00462055	0.998712
14	0.00108719	0.999799
16	0.000181198	0.99998
18	0.00001907	0.999999
20	9.54×10⁻⁷	1

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
手算：对称游走 4 步，S_4 = −4、−2、0、2、4 的概率 1、4、6、4、1 除以 16；反射原理 P(max ≥ 2) = 2P(S_4 > 2) + P(S_4 = 2) = 2/16 + 4/16
参数关心的水平：比起点高 a 2步数 n 4 步每步 +1 的概率 p 0.5其余用默认值
项标准答案平台算出
20 步内最高到过 +4 的概率p_max 0.375 0.375
反射原理的公式（对称时）p_max_reflect 0.375 0.375
20 步后位置变化的方差var 4 4
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|
第 2 条
平台算出的数对得上
赌徒破产的闭式解（手算）：q/p = 1.5，(1 − 1.5²)/(1 − 1.5⁴) = 4/13；平均步数 2/0.2 − 4/0.2×4/13 = 50/13
参数赌徒破产：目标资金 N 4赌徒破产：起始资金 i 2每步 +1 的概率 p 0.4其余用默认值
项标准答案平台算出
到 0 或 N 的平均步数duration 3.8461538 3.8461538
从 5 出发先到 10 的概率p_win 0.30769231 0.30769231
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|
第 3 条
平台算出的数对得上
手算：p < q 时最终到达 +3 的概率 (p/q)³ = (2/3)³；E[S_10] = 10(0.4 − 0.6) = −2
参数关心的水平：比起点高 a 3步数 n 10 步每步 +1 的概率 p 0.4其余用默认值
项标准答案平台算出
20 步后位置变化的均值mean -2 -2
最终到达 +4 的概率p_hit 0.2962963 0.2962963
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
20 步内最高到过 +4 的概率p_max	0.375	0.375
反射原理的公式（对称时）p_max_reflect	0.375	0.375
20 步后位置变化的方差var	4	4

项	标准答案	平台算出
到 0 或 N 的平均步数duration	3.8461538	3.8461538
从 5 出发先到 10 的概率p_win	0.30769231	0.30769231

项	标准答案	平台算出
20 步后位置变化的均值mean	-2	-2
最终到达 +4 的概率p_hit	0.2962963	0.2962963

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：5 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 11 行839 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.stochastic import random_walk34result = random_walk.random_walk(5    p=0.5,6    n=20,7    a=4,8    i=5,9    N=10,10)11print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Ross：Introduction to Probability Models第 4 章 4.5.1 赌徒破产
IFoA CS2 核心读物随机游走：简单随机游走和反射原理

覆盖的考试公式

STP-001平稳性、白噪声与随机游走SRMMAS-IICS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

简单随机游走 S_n = S_0 + Σ Y_j：均值、方差和准确的分布（二项分布）；n 步内的最大值用动态规划准确计算，对称时和反射原理的公式核对；无界时最终到达 +a 的概率（p < q 时是 (p/q)^a）和平均步数 a/(p − q)；两边有吸收壁时用赌徒破产的闭式公式。

说明和限制

n 步内最大值的分布用动态规划（记录当前位置，到过 a 的路径吸收）准确计算，对称时另用反射原理的公式核对。
随机游走的增量 Y_j 是独立同分布的白噪声，所以 S_n 有独立平稳增量，但 S_n 本身不平稳（方差随 n 线性增长）。时间序列里的随机游走预测见 time_series.random_walk。
吸收概率的一般算法（任意转移矩阵）见 stochastic.absorbing_chain。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

随机过程，还有 12 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“每步 +1（概率 p）或 −1，n 步后在哪里？n 步内最高到过某个水平的概率是多少？最终能到达某个水平吗？在 0 和 N 之间游走时先到 N 的概率和平均步数是多少？”