Thiele 微分方程（全连续准备金） · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

死亡率

生命表（死亡率选平台生命表时用）

年龄 x岁

0 岁100 岁

固定利率 i%

0%12%

整数年龄之间的假设（生命表用）

死亡均匀分布（UDD）常数死亡力

产品

终身寿险定期寿险两全保险

保险期间 n年

终身寿险不用

1 年80 年

保额 S元

1 元10,000 万元

其余 6 个参数

保费附加

保费 = 等价原理保费 × (1 + 附加)

01

保费费用率 c

00.5

每年的维持费用 e元

连续发生

0 元1 万元

理赔费用 E元

0 元10 万元

每年几步

1365

重点看第几年年

0 年80 年

真实数据

《中国人身保险业经验生命表（2025）》（中国精算师协会，金规〔2025〕21号）

insured-life-mortality-2025

输出

用时 382 毫秒 · 11/14 22:34 运行

年缴保费率 P̄（连续缴）: 4,002.5元/年
第 10 年的准备金（Runge-Kutta）: 4.377 万元
第 10 年的准备金（Euler）: 4.371 万元
第 10 年的准备金（前瞻法积分）: 4.377 万元
Runge-Kutta 的最大误差: 1.9×10⁻⁸元
Euler 的最大误差: 88.1796元

准备金：Thiele 方程的数值解

Runge-Kutta
Euler
前瞻法

纵轴：元

死亡率：第四套非养老类业务一表（男）。
整数年龄之间按死亡均匀分布（UDD）。生命表到 105 岁为止，最后一岁的 q = 1。

Thiele 方程的数值解years21 行 · 7 列

结果表 Thiele 方程的数值解
t	年龄	Runge-Kutta	Euler	前瞻法积分	RK4 误差	Euler 误差
0	40	1.9×10⁻⁸	-88.1796	0	1.9×10⁻⁸	-88.1796
1	41	3,932.93	3,846.73	3,932.93	1.88×10⁻⁸	-86.1965
2	42	7,957.96	7,873.91	7,957.96	1.85×10⁻⁸	-84.0516
3	43	12,077.2	11,995.46	12,077.2	1.82×10⁻⁸	-81.7358
4	44	16,292.91	16,213.67	16,292.91	1.79×10⁻⁸	-79.2393
5	45	20,607.5	20,530.94	20,607.5	1.75×10⁻⁸	-76.5509
6	46	25,023.77	24,950.11	25,023.77	1.71×10⁻⁸	-73.6584
7	47	29,544.74	29,474.19	29,544.74	1.66×10⁻⁸	-70.5485
8	48	34,173.88	34,106.67	34,173.88	1.61×10⁻⁸	-67.2062
9	49	38,915.05	38,851.43	38,915.05	1.54×10⁻⁸	-63.615
10	50	43,772.36	43,712.61	43,772.36	1.47×10⁻⁸	-59.7566
11	51	48,750.39	48,694.78	48,750.39	1.4×10⁻⁸	-55.6105
12	52	53,853.98	53,802.82	53,853.98	1.31×10⁻⁸	-51.1534
13	53	59,088.37	59,042.01	59,088.37	1.21×10⁻⁸	-46.3587
14	54	64,459.31	64,418.11	64,459.31	1.1×10⁻⁸	-41.1952
15	55	69,973.35	69,937.72	69,973.35	9.72×10⁻⁹	-35.6268
16	56	75,638.01	75,608.4	75,638.01	8.25×10⁻⁹	-29.6114
17	57	81,462.08	81,438.98	81,462.08	6.59×10⁻⁹	-23.1005
18	58	87,455.73	87,439.69	87,455.73	4.7×10⁻⁹	-16.0387
19	59	93,630.63	93,622.27	93,630.63	2.53×10⁻⁹	-8.36239
20	60	100,000	100,000	100,000	0	0

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

1 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
闭式公式：常数死亡力 μ = 0.04、δ = 0.06 的 20 年全连续两全保险，ā_{20} = (1 − e^{−2})/0.1，Ā = μā + e^{−2}，P̄ = Ā/ā；₁₀V = Ā_{x+10:10} − P̄ ā_{10}，ā_{10} = (1 − e^{−1})/0.1
参数年龄 x 0 岁重点看第几年 10 年固定利率 i 6.18%mu 0.04保险期间 n 20 年产品两全保险每年几步 12保额 S 1 元其余用默认值
项标准答案平台算出
年缴保费率 P̄（连续缴）premium 0.055651764 0.055651764
第 10 年的准备金（Runge-Kutta）rk4 0.26894142 0.26894142
允许误差 1×10⁻⁷
题里用了页面上没有的参数（mu），平台在测试里运行

项	标准答案	平台算出
年缴保费率 P̄（连续缴）premium	0.055651764	0.055651764
第 10 年的准备金（Runge-Kutta）rk4	0.26894142	0.26894142

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：14 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 20 行382 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.life_reserves import thiele34result = thiele.thiele(5    mortality="table",6    table="2025-CL2-M",7    age=40,8    interest=0.025,9    frac="udd",10    product="endowment",11    n=20,12    sum_insured=100000,13    loading=0,14    prem_expense=0,15    maint=0,16    claim_expense=0,17    steps=12,18    duration=10,19)20print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks7.5.2 节、7.9 节（Thiele 微分方程）

这个方法算什么

dV/dt = δV + (1 − c)P̄ − e − μ_{x+t}(S + E − V)。从期满（终身寿险从接近最高年龄处）往回解：Euler 法和四阶 Runge-Kutta 法，步长可选，和前瞻法的积分逐年对照误差。

说明和限制

终身寿险从生命表最后一个整数年（Makeham 模型最多到 120 岁）往回解，那一点的边界值用前瞻法的积分。
生命表在整数年龄之间按所选的分数年龄假设，死亡力在整数年龄处跳变；步长取每年整数步，跳变点正好落在网格上。
四阶 Runge-Kutta 每年 12 步时误差一般在 10⁻⁶ 元以下；Euler 法误差和步长成正比。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

insured-life-mortality-2025 insured-life-mortality

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

保费与准备金，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“保费连续缴、死亡时立即给付的保单，准备金怎样随时间变化？用 Thiele 微分方程数值解出来，和前瞻法的结果一致吗？”